Question

已知，如圖所示，拋物線c₁：y=ax²+bx+c的頂點A在x軸的正半軸上，并與y軸交于點B，OA=，AB=，拋物線c₂與拋物線c₁關于y軸對稱．
（1）求拋物線c₁的函數(shù)解析式，并直接寫出拋物線c₂的函數(shù)解析式；
（2）設l是拋物線c₂的對稱軸，P是l上的一點，求當△PAB的周長最小時點P的坐標；
（3）在拋物線c₁上是否存在點D，過點D作DC⊥AB于C，使得△DCB與△AOB相似？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAB中OA=，AB=，求得OB的長，從而根據(jù)OA，OB得到點A，D坐標，點A坐標即為其頂點坐標，從而得到C₁，C₂C₁關于原點對稱，從而得到C₂的頂點坐標，即其對稱軸，從而得到C₂解析式．
（2）作BB′∥x軸交C₂于點B′則點B′即為點B關于l的對稱點，連接AB′交l于點P即為所求點．先求得直線AB′，代入對稱軸l的x值，從而進一步求得點P．
（3）設點設點D（x，），求得BD，求得直線AB，求得點D到直線AB的距離，若△DCB與△AOB相似，則或，代入求得的等式是否是否符合，符合則點D存在．
解答：解：（1）∵在Rt△OAB中OA=，AB=，
∴OB=，
∴點A（，0），點B（0，3）．
則由，
解得：a=1，b=，c=3，
∴C₁的解析式為：y=x²-2x+3=．
則點A關于y軸的對稱點為（，0），
相當于C₁向左平移了2個單位，
∴C₂的解析式為：；

（2）作BB′∥x軸交C₂于點B′則點B′即為點B關于l的對稱點，連接AB′交l于點P即為所求點．
此時AB′即為△APB所形成三角形的最小周長．兩點之間線段最短．
∵點A（，0），點B（0，3），
∴E（，0），
∴B′（-2，3），
則設直線AB′為y=kx+b，代入A，B′得：．
解得：k=，b=1，
∴直線AB′解析式為：y=，
代入對稱軸x=-，則y=2，
∴點P（）；

（3）如圖：存在，
知道點A，B設直線AB為y=mx+n，
代入解得：y=-x+3，即y+，
設點D（x，），則BD=，
則點D到直線的距離CD．
知道OA=，OB=3，AB=2，
若△DCB與△AOB相似，則或，
代入，
則點D（1，4-2），
檢驗點D符合，
代入，
則點D（3，12-6），
檢驗符合，
∴點D（1，4-2）或（3，12-6）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，涉及到知道拋物線上的點求其解析式，求拋物線的對稱軸，以及拋物線的平移．