Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，點E在邊CB的延長線上，并且BE=AD，點F在邊BC上．
（1）求證：AC=AE；
（2）如果∠AFB=2∠AEF，求證：四邊形AFCD是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件可判定四邊形ABCD是等腰梯形，利用等腰梯形的性質(zhì)以及給出的條件利用SAS可判定△ABE≌△ADC，從而可證得結(jié)論；
（2）由（1）和外角和定理可證得AD=DC=AF=CF，所以四邊形AFCD是菱形．
解答：證明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠DCE，
∵∠ABE+∠ABC=180°，∠DCE+∠D=180°，
∴∠D=∠ABE，
又∵BE=AD，
∴△ABE≌△ADC，
∴AC=AE．

（2）∵∠AFB=∠CAF+∠FCA，∠AFB=2∠E，
∴2∠E=∠CAF+∠FCA，
∵∠E=∠DAC=∠DCA，
又∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠FCA，
∴AD=DC=AF=CF，
∴四邊形AFCD是菱形．
點評：此題主要考查等腰梯形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法的綜合運用，難度較大，解答此類綜合題目還需從基本做起，掌握一些基本性質(zhì)是解答此類題目必備的．