Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使DB=AB，連接CD，以CD為直角邊作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）若AB=3cm，則BE=

6

cm．
（3）BE與AD有何位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD=CE，CA=CB，然后利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=BE，而DB=AB=3cm，所以BE=6cm；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，而∠3=∠4，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到∠EBD=∠ECD=90°．

解答：（1）證明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CD=CE，CA=CB，
∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴∠ECD+∠DCB=∠DCB+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，

CD=CE ∠ACD=∠BCE CA=CB

，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵DB=AB=3cm，
∴BE=2×3cm=6cm；

（3）解：BE與AD垂直．理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠1=∠2，
而∠3=∠4，
∴∠EBD=∠ECD=90°，
∴BE⊥CD．
故答案為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．