Question

設(shè)拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于兩個不同的點A（-l，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式：
（2）問拋物線上是否存在一點M，使得S_△ABM=2S_△ABC？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y=-x-1交拋物線于另一點E．
①求tan∠ABD的值：
②若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）把三點分別代入后求解可得：
a=，b=，c=2；
代入后得此函數(shù)解析式為：y=；

（2）假設(shè)存在這樣的點M，使得S_△ABM=2S_△ABC
假設(shè)點M的坐標為：（x_M，y_M），
所以有：•AB•h=2••AB•2，
其中h是三角形ABM AB 邊上的高等于y_M的絕對值，解得h=4，
二次函數(shù)解析式y(tǒng)=的最大值是＜4，
故x軸的上方不存在這樣的M點，
所以有y_M=-4，即有y==-4，
解得：x=，
即M點的坐標為（）或者（）；

（3）①D（1，n）代入原函數(shù)解析式得：n=3
所以D點坐標為（1，3），
過點D作垂線DF⊥x軸，可得tan∠ABD=，
②由y=-x-1和y=；聯(lián)立求解得：
x=-1 y=0 或者 x=6 y=-7；
所以點E的坐標為（6，-7），
過點E作EH⊥x軸于H，則H（6，0），
所以AH=EH=7，∠EAH=45°，又因為tan∠ABD=，故∠DBF=45°
所以∠EAH=∠DBF，且有∠DBH=135°
90°＜∠EBA＜135°，則點P只能在點B的左側(cè)，即有以下兩種情況：
1）△DBP∽△EAB，則有：，
所以BP=，故OP=4-=，
所以點P坐標為（）
2）△DBP∽△BAE，則有，
所以BP=，
OP=，
所以點P的坐標為（-），
綜上所述點P坐標為（）或者（-）．
分析：（1）把三個點分別代入解析式，再聯(lián)立求解，即可解出a、b、c的值，代入原函數(shù)解析式．
（2）先假設(shè)存在這樣的一個點，再根據(jù)實際情況看假設(shè)是否成立．
（3）①先求得D點的坐標，再根據(jù)三角形的相關(guān)性質(zhì)求解角度．
②兩三角形相似存在兩種情況：，根據(jù)這兩種情況分別列出方程是求解．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)解析式的確定，還涉及到了三角形面積等相關(guān)知識．