Question

如圖，拋物線與x軸交于點A（—2，0），交y軸于點B（0，）.直過點A與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點是D.

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）設(shè)點P是直線AD下方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作 y軸的平行線，交直線AD于點M，作DE⊥y軸于點E．探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點N，設(shè)△PMN的周長為m，點P的橫坐標(biāo)為x，求m與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）,;（2）存在,（2，－3）和（4，）; （3）,當(dāng)x=3時，m的最大值是15.

【解析】

試題分析：（1）將A，B兩點坐標(biāo)分別代入求出二次函數(shù)解析式；將A點坐標(biāo)代入求出直線解析式;

（2）首先假設(shè)出P，M點的坐標(biāo)，進(jìn)而得出PM的長，將兩函數(shù)聯(lián)立得出D點坐標(biāo)，進(jìn)而得出CE的長，利用平行四邊形的判定得出PM=CE，得出等式方程求出即可;

（3）利用勾股定理得出DC的長，進(jìn)而根據(jù)△PMN∽△CDE，得出兩三角形周長之比，求出m與x的函數(shù)關(guān)系，再利用配方法求出二次函數(shù)最值即可.

試題解析：（1）∵經(jīng)過點A（—2，0）和B（0，）

∴，解得.

∴拋物線的解析式是.

∵直線經(jīng)過點A（—2，0），∴，解得：.

∴直線的解析式是.

（2）存在.

設(shè)P的坐標(biāo)是（x，），則M的坐標(biāo)是（x，），

∴.

解方程得：或.

∵點D在第三象限，∴點D的坐標(biāo)是（8，）.

由令x=0得點C的坐標(biāo)是（0，）.

∴.

∵PM∥y軸，∴要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM=CE，即.

解這個方程得：x₁=2，x₂=4.

當(dāng)x=2時，y=—3; 當(dāng)x=4時，y=.

∴直線AD上方的拋物線上存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形，點P的坐標(biāo)是（2，－3）和（4，）.

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6  由勾股定理得：DC=10.

∴△CDE的周長是24.

∵PM∥y軸，∴∠PMN=∠DCE.

∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE.

∴，即.

化簡整理得：m與x的函數(shù)關(guān)系式是：.

∵＜0，∴m有最大值，當(dāng)x=3時，m的最大值是15.

考點：1.二次函數(shù)綜合題;2.單動點問題;3.曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系;4.平行四邊形的判定;5.勾股定理;6.相似三角形的判定和性質(zhì);7.由實際問題列函數(shù)關(guān)系式;8.二次函數(shù)的最值.