Question

(1)如圖（1）， 四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，證明：BC+DC=AC.

(2) 如圖（2），四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點，且∠APD=120°，證明：PA+PD+PC≥BD

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】

試題分析：（1）要證BC+DC=AC，延長BC到E，使CE=CD，則求AC=BE即可．由AB=AD，∠ABD=60°，連接BD后得△ABD是等邊三角形，進而得∠ADB=60°，AD=BD，又有，∠BCD=120°，則△DCE是等邊三角形，所以得△ACD≌△BDE，則AC=BE=BC+CD．

（2）由題（1）的結(jié)論則PB=QC=PA+PC，在△PDB中，PB+PD≥BD，即PA+PC+PD≥BD，

（1）證明：連接BD，延長BC到點E，使CE=CD，連接DE

∵AB=AD，∠ABD=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠ADB=60°，AD=BD，

又∵∠BCD=120°CE=CD，

∴∠DCE=180°-∠BCD=60°，

∴△DCE是等邊三角形，

∴∠CDE=∠ADB=60°，DC=DE，

∴∠ADC=∠BDE，

又∵AD=BD，

∴△ACD≌△BDE，

∴AC=BE=BC+CE，

即AC=BC+CD；

（2）把線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60度，到AQ．連接AC、PQ，

∴AP=AQ，△APQ為正三角形，

∴∠QAP=60°，QP=AP，

∵AB=BC，∠ABC=60°，

∴△ABC為正三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∴∠ABC+∠PAC=∠QAP+∠PAC，即∠QAC=∠PAB，

△ABP≌△ACQ（SAS），

PB=QC=PA+PC，

在△PDB中，PB+PD≥BD，即PA+PC+PD≥BD．

考點：此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形三邊之間的關(guān)系

點評：本題可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，共線的證明是正確解答的關(guān)鍵．