【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,若點P從點A出發(fā),以每秒2cm的速度沿折線A-C-B-A運動,設(shè)運動時間為t秒(t>0).

(1)若點P在AC上,且滿足PA=PB時,求出此時t的值;
(2)若點P恰好在∠BAC的角平分線上,求t的值;
(3)在運動過程中,直接寫出當t為何值時,△BCP為等腰三角形.

【答案】
(1)解:設(shè)存在點P,使得PA=PB,

此時PA=PB=2t,PC=4-2t,

在Rt△PCB中,PC2+CB2=PB2,

即:(4-2t)2+32=(2t)2,

解得:t= ,

∴當t= 時,PA=PB


(2)解:當點P在∠CAB的平分線上時,如圖1,過點P作PE⊥AB于點E,

此時BP=7-2t,PE=PC=2t-4,BE=5-4=1,

在Rt△BEP中,PE2+BE2=BP2,

即:(2t-4)2+12=(7-2t)2,

解得:t=

∴當t= 時,P在△ABC的角平分線上


(3)解:在Rt△ABC中,∵AB=5cm,BC=3cm,

∴AC=4cm,

根據(jù)題意得:AP=2t,

當P在AC上時,△BCP為等腰三角形,

∴PC=BC,即4-2t=3,

∴t= ,

當P在AB上時,△BCP為等腰三角形,

①CP=PB,點P在BC的垂直平分線上,

如圖2,過P作PE⊥BC于E,

∴BE= BC= ,

∴PB= AB,即2t-3-4= ,解得:t= ,

②PB=BC,即2t-3-4=3,

解得:t=5,

③PC=BC,如圖3,過C作CF⊥AB于F,

∴BF= BP,

∵∠ACB=90°,

由射影定理得;BC2=BFAB,

即33= ×5,

解得:t=

∴當t= ,5, , 時,△BCP為等腰三角形.


【解析】(1)設(shè)存在點P,使得PA=PB,此時PA=PB=2t,PC=4-2t,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論;
(2)當點P在∠CAB的平分線上時,如圖1,過點P作PE⊥AB于點E,此時BP=7-2t,PE=PC=2t-4,BE=5-4=1,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論;
(3)在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理得到AC=4cm,根據(jù)題意得:AP=2t,當P在AC上時,△BCP為等腰三角形,得到PC=BC,即4-2t=3,求得t的值,,當P在AB上時,△BCP為等腰三角形,①CP=PB,點P在BC的垂直平分線上,如圖2,過P作PE⊥BC于E,求得t的值,②PB=BC,即2t-3-4=3,解得t的值,③PC=BC,如圖3,過C作CF⊥AB于F,由射影定理得;BC2=BFAB,列出方程求解即可得出結(jié)論。

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