Question

（2010•南通）已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線(xiàn)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2）的直線(xiàn)l與x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)AB和這條拋物線(xiàn)的解析式；
（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線(xiàn)l與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)直線(xiàn)AB上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1，P（m，n）是拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形CODP的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)AB的解析式；根據(jù)“當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線(xiàn)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等”可知：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)可求出半徑OA的長(zhǎng)，然后判斷A到直線(xiàn)l的距離與半徑OA的大小關(guān)系即可；
（3）根據(jù)直線(xiàn)AB的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到OD的長(zhǎng)，由于OD的長(zhǎng)為定值，若△POD的周長(zhǎng)最小，那么PD+OP的長(zhǎng)最小，可過(guò)P作y軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)l于M；首先證PO=PM，此時(shí)PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小時(shí)，應(yīng)有PD+PM=DM，即D、P、M三點(diǎn)共線(xiàn)，由此可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；此時(shí)四邊形CODP是梯形，根據(jù)C、O、D、P四點(diǎn)坐標(biāo)即可求得上下底DP、OC的長(zhǎng)，而梯形的高為D點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值由此可求出四邊形CODP的面積．
解答：解：（1）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得；
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+1；
由題意知：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，則拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)（-4，3），（2，0），（-2，0）三點(diǎn)；
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x-2）（x+2），
則有：3=a（-4-2）（-4+2），a=；
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²-1；

（2）易知：A（-4，3），則OA==5；
而A到直線(xiàn)l的距離為：3-（-2）=5；
所以⊙A的半徑等于圓心A到直線(xiàn)l的距離，
即直線(xiàn)l與⊙A相切；

（3）過(guò)D點(diǎn)作DM∥y軸交直線(xiàn)于點(diǎn)M交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，
則P（m，n），M（m，-2）；
∴PO²=m²+n²，PM²=（n+2）²；
∵n=m²-1，即m²=4n+4；
∴PO²=n²+4n+4=（n+2）²，
即PO²=PM²，PO=PM；
易知D（-1，），則OD的長(zhǎng)為定值；
若△PDO的周長(zhǎng)最小，則PO+PD的值最小；
∵PO+PD=PD+PM≥DM，
∴PD+PO的最小值為DM，
即當(dāng)D、P、M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)PD+PM=PO+PD=DM；
此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，代入拋物線(xiàn)的解析式可得y=-1=-，
即P（-1，-）；
∴S_{四邊形CPDO}=（CO+PD）×|x_D|=×（2++）×1=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、圖形面積的求法等知識(shí)，還涉及到解析幾何中拋物線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)，能力要求極高，難度很大．