Question

（2002•南昌）如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6厘米，⊙O的半徑為r厘米，當(dāng)圓心O從點(diǎn)A出發(fā)，沿著線路AB-BC-CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A時(shí)，⊙O隨著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)．
（1）若r=厘米，求⊙O首次與BC邊相切時(shí)，AO的長(zhǎng)．
（2）在⊙O移動(dòng)過(guò)程中，從切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮，相切有幾種不同的情況寫出不同情況下X的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（3）設(shè)⊙O在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，在△ABC內(nèi)部、⊙O未經(jīng)過(guò)的部分的面積為S，在S＞0時(shí)，求S關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求AO的關(guān)鍵是求出BO，如果設(shè)與BC相切時(shí)切點(diǎn)為D的話，可在直角三角形BOD中用半徑的長(zhǎng)和∠ABC的正弦值求出BO的長(zhǎng)，也就能求出AO的長(zhǎng)了．
（2）考慮直線與圓的位置，只需考慮半徑的長(zhǎng)以及圓心到直線的距離即可．
當(dāng)圓的半徑正好等于等邊三角形的高的時(shí)候，那么只有圓心在等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，圓才與等邊三角形相切；
當(dāng)圓的半徑小于高時(shí)（半徑應(yīng)大于0），在每一條邊運(yùn)動(dòng)時(shí)都要與三角形的兩邊相切即切點(diǎn)有兩個(gè)，那么走完3條邊后切點(diǎn)應(yīng)有6個(gè)；
當(dāng)圓的半徑大于高的時(shí)候，圓與三角形的三邊相交或三角形在圓內(nèi)，因此沒(méi)有切點(diǎn)．
（3）本題的關(guān)鍵是求出內(nèi)部三角形的邊和相應(yīng)的高．
根據(jù)題意我們不難得出內(nèi)部的三角形應(yīng)該和三角形ABC相似，即內(nèi)部的三角形也應(yīng)該是等邊三角形．
如果設(shè)這個(gè)三角形為A′B′C′，那么可作出三角形ABC和A′B′C′的高來(lái)求解．
連接AA′并延長(zhǎng)其交B′C′，BC于E，F(xiàn)，那么A′E就應(yīng)該是內(nèi)部三角形的高，如果求出了高就可以通過(guò)三角函數(shù)求出內(nèi)部三角形的邊長(zhǎng)也就能求出它的面積，因此求A′E長(zhǎng)就是解題的關(guān)鍵．
我們觀察后發(fā)現(xiàn)，EF=r，而AF可以在三角形ABC中求出，那么關(guān)鍵是求A′A，可通過(guò)構(gòu)建直角三角形求解．
過(guò)A′作A′G⊥AB于G，那么A′G=r，那么我們可根據(jù)∠A′AG的度數(shù)用三角函數(shù)和r表示出AA′，這樣就能求出A′E和內(nèi)部三角形的邊長(zhǎng)了，那么根據(jù)三角形的面積公式就能得出關(guān)于S，r的函數(shù)解析式了．
解答：解：（1）設(shè)⊙O首次與BC相切于點(diǎn)D，則有OD⊥BC．
且OD=r=．
在直角三角形BDO中，
∵∠OBD=60°，
∴OB==2．
∴AO=AB-OB=6-2=4（厘米）；

（2）由正三角形的邊長(zhǎng)為6厘米．可得出它的一邊上的高為3厘米．
①當(dāng)⊙O的半徑r=3厘米時(shí)，⊙O在移動(dòng)中與△ABC的邊共相切三次，即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為3；
②當(dāng)0＜r＜3時(shí)，⊙O在移動(dòng)中與△ABC的邊相切六次，即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為6；
③當(dāng)r＞3時(shí)，⊙O與△ABC不能相切，即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．

（3）如圖，易知在S＞0時(shí)，⊙O在移動(dòng)中，在△ABC內(nèi)部為經(jīng)過(guò)的部分為正三角形．
記作△A′B′C′，這個(gè)正三角形的三邊分別于原正三角形三邊平行，且平行線間的距離等于r．
連接AA′，并延長(zhǎng)AA′，分別交B′C′，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
則AF⊥BC，A′E⊥B′C′，且EF=r．
又過(guò)點(diǎn)A′作A′G⊥AB于G，則A′G=r．
∵∠GAA′=30°，
∴AA′=2r．
∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=3-3r，
B′C′=A′E=2（-r）．
∴△A′B′C′的面積S=B′C′•A′E=3（-r）²．
∴所求的解析式為S=3（-r）²（0＜r＜3）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．