Question

已知，如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三個頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD上，AH=2，連接CF．
（1）當(dāng)四邊形EFGH為正方形時，求DG的長；
（2）當(dāng)△FCG的面積為1時，求DG的長；
（3）當(dāng)△FCG的面積最小時，求DG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)四邊形EFGH為正方形時，則易證AHE≌△DGH，則DG=AH=2
（2）作FM⊥DC，M為垂足，連接GE，可以證明△AHE≌△MFG，則FM=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2．根據(jù)△FCG的面積為1，就可以解出GC，DG的長．
（3）先求出DG的取值范圍，S_△FCG的面積可以表示成x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，就可以求出最值．
解答：解：（1）∵四邊形EFGH為正方形，
∴HG=HE，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS）
∴DG=AH=2

（2）作FM⊥DC，M為垂足，連接GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE
∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG．
∴FM=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2．
因此S_△FCG=GC=1，解得GC=1，DG=6．

（3）設(shè)DG=x，則由第（2）小題得，S_△FCG=7-x，又在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE²≤53，∴x²+16≤53，x≤，
∴S_△FCG的最小值為，此時DG=．
點(diǎn)評：求最值的問題一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解．