Question

2．閱讀材料，大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)時研究過這樣一個問題，1+2+3+…+10=？經(jīng)過研究這個問題，這個問題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1）其中n是正整數(shù)，現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題：1×2+2×3+…+n（n+1）=？
觀察下面三個特殊的等式：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4），
將這三個等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20
讀完以上材料，請你計算下列各題：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（寫出過程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=1260．

Answer 1

分析 （1）將1×2+2×3+3×4+…+10×11中乘法按照題意全部展開，提取公因數(shù)$\frac{1}{3}$后計算即可；
（2）將1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）中乘法按照題意全部展開，提取公因數(shù)$\frac{1}{3}$后括號內(nèi)化簡即可；
（3）類比題目規(guī)律，三數(shù)相乘時公因數(shù)為$\frac{1}{4}$，括號內(nèi)為兩組四個連續(xù)整數(shù)乘積的差，按照以上相同算法可得．

解答 解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$（10×11×12-9×10×11）
=$\frac{1}{3}$（10×11×12）=440；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）∵1×2×3=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3）；
2×3×4=$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）；
3×4×5=$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）；
…
7×8×9=$\frac{1}{4}$（7×8×9×10-6×7×8×9）；
∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9
=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3）+$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$（7×8×9×10-6×7×8×9）；
=$\frac{1}{4}$（7×8×9×10）
=1260．
故答案為：（2）$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2），（3）1260．

點評 本題主要考查數(shù)字的變化類，找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的是關(guān)鍵．