Question

（2013•大連）如圖，一次函數(shù)y=-

4

3

x+4的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B．P是射線BO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，在射線CA上截取CD=CP，連接PD．設(shè)BP=t．
（1）t為何值時(shí)，點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合？
（2）設(shè)△PCD與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后在Rt△BCP中，解直角三角形求出BC，CP的長(zhǎng)度；進(jìn)而利用關(guān)系式AB=BC+CD，列方程求出t的值；
（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，分為四個(gè)階段，需要分類討論：
①當(dāng)0＜t≤

25

7

時(shí)，如題圖所示，重合部分為△PCD；
②當(dāng)

25

7

＜t≤4時(shí)，如答圖1所示，重合部分為四邊形ACPE；
③當(dāng)4＜t≤

25

4

時(shí)，如答圖2所示，重合部分為△ACE；
④當(dāng)t＞

25

4

時(shí)，無(wú)重合部分．

解答：解：（1）在一次函數(shù)解析式y(tǒng)=-

4

3

x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=3，
∴A（3，0），B（0，4）．
在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=5．
在Rt△BCP中，CP=PB•sin∠ABO=

3

5

t，BC=PB•cos∠ABO=

4

5

t，
∴CD=CP=

3

5

t．
若點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合，則BC+CD=AB，即

4

5

t+

3

5

t=5，
解得：t=

25

7

，
∴當(dāng)t=

25

7

時(shí)，點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合．

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，t=4；
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，由BC=BA，即

4

5

t=5，得t=

25

4

．
點(diǎn)P在射線BO上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：
①當(dāng)0＜t≤

25

7

時(shí)，如題圖所示：
此時(shí)S=S_△PCD=

1

2

CP•CD=

1

2

•

3

5

t•

3

5

t=

9

50

t²；
②當(dāng)

25

7

＜t≤4時(shí)，如答圖1所示，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)E．

BD=BC+CD=

4

5

t+

3

5

t=

7

5

t，
過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，則ND=BD•sin∠ABO=

7

5

t•

3

5

=

21

25

t，BN=BD•cos∠ABO=

7

5

t•

4

5

=

28

25

t．
∴PN=BN-BP=

28

25

t-t=

3

25

t，ON=BN-OB=

28

25

t-4．
∵ND∥x軸，
∴

OE

ND

=

OP

PN

，即

OE

21 25 t

=

4-t

3 25 t

，得：OE=28-7t．
∴AE=OA-OE=3-（28-7t）=7t-25．
故S=S_△PCD-S_△ADE=

1

2

CP•CD-

1

2

AE•ON=

9

50

t²-

1

2

（7t-25）（

28

25

t-4）=-

187

50

t²+28t-50；
③當(dāng)4＜t≤

25

4

時(shí)，如答圖2所示，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)E．

AC=AB-BC=5-

4

5

t，
∵tan∠OAB=

OB

OA

=

4

3

，∴CE=AC•tan∠OAB=（5-

4

5

t）×

4

3

=

20

3

-

16

15

t．
故S=S_△ACE=

1

2

AC•CE=

1

2

（5-

4

5

t）•（

20

3

-

16

15

t）=

32

75

t²-

16

3

t+

50

3

；
④當(dāng)t＞

25

4

時(shí)，無(wú)重合部分，故S=0．
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

9 50 t2(0＜t≤ 25 7 ) - 187 50 t2+28t-50( 25 7 ＜t≤4) 32 75 t2- 16 3 t+ 50 3 (4＜t≤ 25 4 ) 0(t＞ 25 4 )

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了典型的運(yùn)動(dòng)型綜合題，且計(jì)算量較大，有一定的難度．解題關(guān)鍵在于：一，分析點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，區(qū)分不同的階段，分類討論計(jì)算，避免漏解；二，善于利用圖形面積的和差關(guān)系計(jì)算所求圖形的面積；三，認(rèn)真計(jì)算，避免計(jì)算錯(cuò)誤．