【題目】已知:點AC分別是∠B的兩條邊上的點,點D、E分別是直線BA、BC上的點,直線AE、CD相交于點P

1)點D、E分別在線段BA、BC上;

①若∠B60°(如圖1),且ADBEBDCE,則∠APD的度數(shù)為   

②若∠B90°(如圖2),且ADBCBDCE,求∠APD的度數(shù);

2)如圖3,點D、E分別在線段AB、BC的延長線上,若∠B90°,ADBC,∠APD45°,求證:BDCE

【答案】(1)①60°;②45°;(2)見解析

【解析】

1)連結(jié)AC,由條件可以得出△ABC為等邊三角形,再由證△CBD≌△ACE就可以得出∠BCD=CAE,就可以得出結(jié)論;

2)作AFABA,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,就可以得出△FAD≌△DBC,再證△DCF為等腰直角三角形,由∠FAD=B=90°,就可以得出AFBC,就可以得出四邊形AECF是平行四邊形,就有AECF,就可以得出∠EAC=FCA,就可以得出結(jié)論;

3)作AFABA,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,就可以得出△FAD≌△DBC,再證△DCF為等腰直角三角形,就有∠DCF=APD=45°,推出CFAE,由∠FAD=B=90°,就可以得出AFBC,就可以得出四邊形AFCE是平行四邊形,就有AF=CE

(1)①如圖1,連結(jié)AC,

∵AD=BE,BD=CE,

∴AD+BD=BE+CE,

∴AB=BC.

∵∠B=60°,

∴△ABC為等邊三角形.

∴∠B=∠ACB=60°,BC=AC.

在△CBD和△ACE中

,

∴△CBD≌△ACE(SAS),

∴∠BCD=∠CAE.

∵∠APD=∠CAE+∠ACD,

∴∠APD=∠BCD+∠ACD=60°.

故答案為60°;

②如圖2,作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,

∴∠FAD=90°.

∵∠B=90°,

∴∠FAD=∠B.

在△FAD和△DBC中,

,

∴△FAD≌△DBC(SAS),

∴DF=DC,∠ADF=∠BCD.

∵∠BDC+∠BCD=90°,

∴∠ADF+∠BDC=90°,

∴∠FDC=90°,

∴∠FCD=45°.

∵∠FAD=90°,∠B=90,

∴∠FAD+∠B=180°,

∴AF∥BC.

∵DB=CE,

∴AF=CE,

∴四邊形AECF是平行四邊形,

∴AE∥CF,

∴∠EAC=∠FCA.

∵∠APD=∠ACP+∠EAC,

∴∠APD=∠ACP+∠ACE=45°;

(2)如圖3,作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,

∴∠FAD=90°.

∵∠ABC=90°,

∴∠FAD=∠DBC=90°.

在△FAD和△DBC中,

,

∴△FAD≌△DBC(SAS),

∴DF=DC,∠ADF=∠BCD.

∵∠BDC+∠BCD=90°,

∴∠ADF+∠BDC=90°,

∴∠FDC=90°,

∴∠FCD=45°.

∵∠APD=45°,

∴∠FCD=∠APD,

∴CF∥AE.

∵∠FAD=90°,∠ABC=90,

∴∠FAD=∠ABC,

∴AF∥BC.

∴四邊形AECF是平行四邊形,

∴AF=CE,

∴CE=BD.

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