【題目】(本小題滿分11分)已知ABC=90°,D是直線AB上的點,AD=BC.

(1)如圖1,過點A作AFAB,并截取AF=BD,連接DC、DF、CF,判斷CDF的形狀并證明;

(2)如圖2,E是直線BC上一點,且CE=BD,直線AE、CD相交于點P,APD的度數(shù)是一個固定的值嗎?若是,請求出它的度數(shù);若不是,請說明理由.

【答案】見解析

【解析】(1)CDF是等腰直角三角形,(1分)

理由如下:

AFAD,ABC=90°,∴∠FAD=DBC,(2分)

FAD與DBC中,,∴△FAD≌△DBC(SAS),(3分)

FD=DC,∴△CDF是等腰三角形,(4分)

∵△FAD≌△DBC,∴∠FDA=DCB,

∵∠BDC+DCB=90°,∴∠BDC+FDA=90°,∴△CDF是等腰直角三角形.(5分)

(2)作AFAB于A,使AF=BD,連接DF,CF,如圖,

AFAD,ABC=90°,∴∠FAD=DBC,

FAD與DBC中,,

∴△FAD≌△DBC(SAS),FD=DC,∴△CDF是等腰三角形,(6分)

∵△FAD≌△DBC,∴∠FDA=DCB,

∵∠BDC+DCB=90°,∴∠BDC+FDA=90°,

∴△CDF是等腰直角三角形,(7分)

∴∠FCD=45°,(8分)

AFCE,且AF=CE,四邊形AFCE是平行四邊形,(10分)

AECF,∴∠APD=FCD=45°.(11分)

練習冊系列答案
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(2)如圖2,已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BE為△ABC的角平分線,求證:BE為△ABC完美分割線.
(3)如圖3,已知△ABC是一等腰三角形紙片,AB=AC,AD是它的一條完美分割線,將△ABD沿直線AD折疊后,點B落在點B1處,AB1交CD于點E,求證:DB1=EC.

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