Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上求點(diǎn)M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍；

（3）連結(jié)OA，AB，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使△OBN與△OAB相似？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

    （1）由題意，可設(shè)拋物線的解析式為，

∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，

∴， ．

∴拋物線的解析式為．

（2）和所求同底不等高，，

∴的高是高的3倍，即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．

∴，即．

解之，得　，．

∴滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)：，．

（3）不存在．

由拋物線的對(duì)稱性，知，．

若與相似，必有．

設(shè)交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，顯然．

∴直線的解析式為．

由，得，．

∴　．

過(guò)作軸，垂足為．在中，，，

∴．

又OB=4，

∴，，與不相似．

同理，在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的點(diǎn)所以在該拋物線上不存在點(diǎn)N，使與相似．