Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=2，對(duì)角線BD平分∠ABC，E是BC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PC的最小值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   

Answer 1

A
分析：根據(jù)菱形的判定，得出平行四邊形ABCD為菱形，作出E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，轉(zhuǎn)化為線段長度的問題，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷出△BCE′為直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的長．
解答：解：∵BA=BC=2，
∴平行四邊形ABCD為菱形．
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分線．
作E關(guān)BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，
連接CE′，PE，
則PE=PE′，
此時(shí)，PE+PC=PE′+PC=CE′，
CE′即為PE+PC的最小值．
∵∠ABC=60°，
又∵BE′=BE，
∴△E′BE為正三角形，EE′=2a，∠ABE=60°，
故EE′=EC，
∠EE′C=∠ECE′=30°，
∴∠BE′C=60°+30°=90°，
在Rt△BCE′中，
CE′==．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱---最短路徑問題，內(nèi)容涉及菱形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)和判定及勾股定理，綜合性較強(qiáng)．