如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)數(shù)學(xué)公式的圖象與x軸交于點A、B,它的對稱軸是過點(1,0)且與y軸平行的直線,點A的橫坐標(biāo)是-2.
(1)求二次函數(shù)數(shù)學(xué)公式的關(guān)系式;
(2)如圖2,直線l過點C(2,0)且與y軸平行,現(xiàn)有點P由點A出發(fā)沿射線AO以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動,同時點Q從點C出發(fā),沿直線l向上以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.
①當(dāng)PQ⊥AQ時,求t的值;
②在二次函數(shù)的圖象上是否存在點D,使得點P、D、C、Q圍成的四邊形是平行四邊形?若存在求出點D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解:(1)由題意知點B的坐標(biāo)為(4,0),把點A(-2,0)、B(4,0)代入二次函數(shù)的關(guān)系式,

解得,
故二次函數(shù)的關(guān)系是y=x2-x-1;

(2)①當(dāng)PQ⊥AQ時,∠AQP=90°,
∴∠APQ+∠QAP=90°,
又∵CQ⊥AB,
∴∠ACQ=∠BCQ=90°,
∴∠QAP+∠AQC=90°,∠APQ=∠AQC,
∴△AQC∽△QPC,
,
∴CQ2=AC•PC
又∵CQ=t,CP=2t-4,AC=4,
∴t2=4×(2t-4),
解得:t=4,
∴當(dāng)PQ⊥AQ時,t的值是4;
②在二次函數(shù)的圖象上存在點D,使得點P、D、C、Q圍成的四邊形是平行四邊形,分三種情況討論:
(Ⅰ)以PQ和PC為平行四邊形鄰邊,則QD∥PC,QD=PC,
∴點D的坐標(biāo)為(6-2t,t),代入y=x2-x-1,得到t=(6-2t)2-(6-2t)-1,解得:t=,
∴點D的坐標(biāo)為(-1-,)、(-1+,);
(Ⅱ)以PC和CQ為平行四邊形鄰邊,則QD∥PC,QD=PC,∴點D的坐標(biāo)為(2t-2,t),代入y=x2-x-1,得到t=(2t-2)2-(2t-2)-1,解得:t=5或-1(舍去)
∴點D的坐標(biāo)為(8,5);
(Ⅲ)以PQ和CQ為平行四邊形鄰邊,則 PD∥QC,PD=QC,∴點D的坐標(biāo)為(2t-2,-t),代入y=x2-x-1,得到-t=(2t-2)2-(2t-2)-1,解得:t=1或2(舍去)
∴點D的坐標(biāo)為(0,-1),
綜上可知:二次函數(shù)的圖象上存在點D,使得點P、D、C、Q圍成的四邊形是平行四邊形,點D的坐標(biāo)為:(-1-)、(-1+);(8,5);(0,-1).
分析:(1)由對稱軸是過點(1,0)且與y軸平行的直線,點A的橫坐標(biāo)是-2,可求出B的坐標(biāo),把A和B的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)求出b和c的值即可;
(2)①當(dāng)PQ⊥AQ時,易證△AQC∽△QPC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于t的比例式,求出t的值即可;
②在二次函數(shù)的圖象上存在點D,使得點P、D、C、Q圍成的四邊形是平行四邊形,此題可分三種情況討論,以PQ和PC為平行四邊形鄰邊;以PC和CQ為平行四邊形鄰邊;
以PQ和CQ為平行四邊形鄰邊,分別求出符合題意的t值即可.
點評:本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì),特別是第二問的第二小問要用到分類討論思想,力爭做題時做到不重不漏.
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23、在數(shù)學(xué)上,為了確定平面上點的位置,我們常用下面的方法:如圖甲,在平面內(nèi)畫兩條互相垂直,并且有公共原點O的數(shù)軸,通常一條畫成水平,叫x軸,另一條畫成鉛垂,叫y軸,這樣,我們就說在平面上建立了一個平面直角坐標(biāo)系,這是由法國數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的,這樣我們就能確定平面上點的位置,例如,要確定點M的位置,只要作MP⊥x軸,MP⊥y軸,設(shè)垂足N,P在各自數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為x,y,則x叫做點M的橫坐標(biāo),y叫做點M的縱坐標(biāo),有序數(shù)對(x,y)叫做M點的坐標(biāo),如圖甲,點M的坐標(biāo)記作(2,3),(1)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖乙,請把△ABC向右平移3個單位,在平面直角坐標(biāo)系中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)請寫出平移后點A′的坐標(biāo),記作
(2,2)

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在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊腰長為2
2
cm的等腰直角三角板ABC如圖放置,BC邊與x軸重合,∠ACB=90°,直角頂點C的坐標(biāo)為(-3,0).
(1)點A的坐標(biāo)為
(-3,2
2
(-3,2
2
,點B的坐為
(-3-2
2
,0)
(-3-2
2
,0)
;
(2)求以原點O為頂點且過點A的拋物線的解析式;
(3)現(xiàn)三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移,則平移的時間為多少秒時,三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切?

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學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2張方桌拼成一行能坐6人(如圖)

(1)按照這種規(guī)定填寫下表:

(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),將s作為縱坐標(biāo),n作為橫坐標(biāo),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中找出相應(yīng)各點.

(3)請你猜一猜上述各點會在某一個函數(shù)圖象上嗎?如果在某一函數(shù)圖象上,求出該函數(shù)的解析式,并利用你探求的結(jié)果,求出當(dāng)n=10時,s的值.

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閱讀下面的材料:

小明在研究中心對稱問題時發(fā)現(xiàn):

如圖1,當(dāng)點為旋轉(zhuǎn)中心時,點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點,點再繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點,這時點與點重合.

如圖2,當(dāng)點、為旋轉(zhuǎn)中心時,點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點,點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點,點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點,點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點,小明發(fā)現(xiàn)P、兩點關(guān)于點中心對稱.

(1)請在圖2中畫出點、, 小明在證明P、兩點關(guān)于點中心對稱時,除了說明P、、三點共線之外,還需證明;

(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,當(dāng)、、為旋轉(zhuǎn)中心時,點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點;點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點;點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點;點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點. 繼續(xù)如此操作若干次得到點,則點的坐標(biāo)為(),點的坐為.

 

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(1)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖乙,請把△ABC向右平移3個單位,在平面直角坐標(biāo)系中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)請寫出平移后點A′的坐標(biāo),記作______.

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