Question

15．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，6），過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B在直線(xiàn)AC右側(cè)的函數(shù)圖象上，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，連接BC、AD、CD．
（1）k=6；
（2）四邊形ABCD能否為菱形？若可以，求點(diǎn)B的坐標(biāo)，若不可以，說(shuō)明理由；
（3）連接AB并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)E，試判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出k值；
（2）假設(shè)可以，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)，可求出點(diǎn)C、F的坐標(biāo)，再由BD⊥y軸，結(jié)合點(diǎn)F為線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，即可得出點(diǎn)B、D的坐標(biāo)，驗(yàn)證點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)圖象上，由此即可得出結(jié)論；
（3）四邊形BDCE為平行四邊形，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，$\frac{6}{m}$），用m表示出線(xiàn)段AF、BF和CE，在△ACE中由BF∥CE可得出比例關(guān)系$\frac{BF}{CE}=\frac{AF}{AC}$，代入數(shù)據(jù)求出CE的長(zhǎng)度，從而得知BD=CE，再結(jié)合BD∥CE，即可證出四邊形BDCE為平行四邊形．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，6），
∴k=1×6=6．
故答案為：6．
（2）依照題意補(bǔ)全圖中字母，如圖所示．

假設(shè)可以．
∵四邊形ABCD能否為菱形，
∴線(xiàn)段AC和BD互相垂直平分．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，6），AC⊥x軸于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，3）．
又∵點(diǎn)F為線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，BD⊥y軸于點(diǎn)D，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）．
∵2×3=6，
∴點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象上．
故四邊形ABCD能為菱形，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）．
（3）四邊形BDCE為平行四邊形．
證明：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，$\frac{6}{m}$），
則：DF=1，BF=m-1，AF=6-$\frac{6}{m}$，AC=6．
∵BD⊥y軸于點(diǎn)D，CE在x軸上，
∴BF∥CE，
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{AF}{AC}$，即$\frac{m-1}{CE}=\frac{6-\frac{6}{m}}{6}$，
∴CE=$\frac{6（m-1）}{6-\frac{6}{m}}$=m．
∵BD=m，
∴BD=CE=m，
又∵BD∥CE，
∴四邊形BDCE為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)以及平行四邊形的判定定理，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出k值；（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，驗(yàn)證其是否在反比例函數(shù)圖象上；（3）求出BD=CE．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)找出點(diǎn)的坐標(biāo)，再去驗(yàn)證其是否在反比例函數(shù)圖象上是關(guān)鍵．