Question

15．某新建小區(qū)要在一塊形狀為等邊三角形的公共區(qū)域內修建一個圓形花壇．若等邊三角形區(qū)域的邊長為30m，則花壇面積最大可達75πm²．（結果保留π）

Answer 1

分析 由題意可知三角形為正三角形，設計方案可根據(jù)內切圓性質及正三角形的性質，在三角形內作內切圓使圓形花壇面積最大，然后有圓的性質求出內切圓的半徑，從而求出面積．

解答 解：要使花壇面積最大，因三角形為等邊三角形，
在△ABC內作一個內切圓，則此圓面積最大，點O為角平分線的交點．
作OD⊥BC于D，如圖所示：
則Rt△BOD中，BD=$\frac{1}{2}$BC=15m，∠OBD=30°，
∴tan30°=$\frac{OD}{BD}$，
∴OD=BD•tan30°=15×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=5$\sqrt{3}$，
∴花壇面積為π•（5$\sqrt{3}$）²=75π（m²）；
故答案為：75π．

點評 本題考查了正三角形的性質、內切圓的性質、三角函數(shù)；熟練掌握正三角形的性質，由三角函數(shù)求出內切圓半徑是解決問題的關鍵．