Question

閱讀下列材料并填空．
平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥2）且任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過(guò)其中的每?jī)牲c(diǎn)畫(huà)直線，一共能作出多少條不同的直線？
①分析：當(dāng)僅有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成1條直線；當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成3條直線；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成6條直線；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成10條直線…
②歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)和可連成直線的條數(shù)S_n發(fā)現(xiàn)：如下表

點(diǎn)的個(gè)數(shù)	可作出直線條數(shù)
2	1=S2= 2×1 2
3	3=S3= 3×2 2
4	6=S4= 4×3 2
5	10=S5= 5×4 2
…	…
n	Sn= n(n-1) 2

③推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線．取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取第二個(gè)點(diǎn)B有（n-1）種取法，所以一共可連成n（n-1）條直線，但AB與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2；即S_n=

n(n-1)

2

④結(jié)論：S_n=

n(n-1)

2

試探究以下幾個(gè)問(wèn)題：平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3），任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過(guò)任意三個(gè)點(diǎn)作三角形，一共能作出多少不同的三角形？
（1）分析：
當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出

 

個(gè)三角形；
當(dāng)僅有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出

 

個(gè)三角形；
當(dāng)僅有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出

 

個(gè)三角形；
…
（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可作出的三角形的個(gè)數(shù)S_n，發(fā)現(xiàn)：（填下表）

點(diǎn)的個(gè)數(shù)	可連成三角形個(gè)數(shù)
3
4
5
…
n

（3）推理：
（4）結(jié)論：

Answer 1

分析：由于平面上有n個(gè)點(diǎn)，過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取第二個(gè)點(diǎn)B有（n-1）種取法，取第三個(gè)點(diǎn)C有（n-2）種取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）個(gè)三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個(gè)三角形，故應(yīng)除以6，故可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作1個(gè)三角形；
當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作4個(gè)三角形；
當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作10個(gè)三角形．
（2）填表如下：

點(diǎn)的個(gè)數(shù)	可連成三角形個(gè)數(shù)
3	1=S3= 3×2×1 6
4	4=S4= 4×3×2 6
5	10=S5= 5×4×3 6
n	Sn= n(n-1)(n-2) 6

（3）推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)A有n種方法，取第二個(gè)點(diǎn)有B有（n-1）種取法，取第三個(gè)點(diǎn)C有（n-2）種取法，
所以一共可以作n（n-1）（n-2）個(gè)三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個(gè)三角形，
故應(yīng)除以6，
即S_n=

n(n-1)(n-2)

6

．

（4）結(jié)論：S_n=

n(n-1)(n-2)

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了規(guī)律型：圖形的變化，是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．