Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止．已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm()，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；

（2）當(dāng)x 為何值時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

（3）以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

 

（1）

（2）當(dāng)時(shí),以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

（3）以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形

解析:解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí),以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形.

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí),

(舍去).…1分

因?yàn)锽Q+CM=,此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合.

所以符合題意.  ……………………2分

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí),

.

此時(shí),不符合題意.

故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合.

所以所求x的值為.……………………3分

(2)由(1)知,點(diǎn)Q 只能在點(diǎn)M的左側(cè),

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí),

由,

解得.

當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形.………………5分

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí),

由, 

解得.

當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形.

所以當(dāng)時(shí),以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.  …7分

(3)過(guò)點(diǎn)Q，M分別作AD的垂線(xiàn),垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).

由于2x>x,

所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè).

若以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形, 

則點(diǎn)F一定在點(diǎn)N的右側(cè),且PE=NF,   …………8分

即.

解得.

由于當(dāng)x=4時(shí), 以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

所以以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形.…10分