Question

如圖1，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接BC，得△ABC．若點(diǎn)D在x軸上，且以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)并直接寫出此時(shí)△PBD外接圓的半徑；
（3）設(shè)直線l：y=x+t，若在直線l上總存在兩個(gè)不同的點(diǎn)E，使得∠AEB為直角，則t的取值范圍是

2-

2

＜t＜2+

2

，且t≠1、t≠3

；
（4）點(diǎn)F是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若∠AFC為直角，則點(diǎn)F坐標(biāo)為

（

-5+ 5

2

，

1- 5

2

）或（

-5- 5

2

，

1+ 5

2

）

．

Answer 1

分析：（1）知道了拋物線頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，那么也就知道了拋物線的對(duì)稱軸方程，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)可由直線AC求得，而點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)可得，再由待定系數(shù)法確定拋物線的解析式．
（2）由A、P、B、C四點(diǎn)坐標(biāo)不難看出：∠PBA=∠CAB=45°，那么若以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，只需找出另一組對(duì)應(yīng)角相等即可，分兩種情況討論：①∠PCB=∠ABC，②∠BPC=∠ABC；在上述兩種情況中，先設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再表示出BD、BP、AB、AC的長(zhǎng)，根據(jù)得到的不同比例線段，列式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．知道了PD的長(zhǎng)，由2r=

PD

sin∠PBD

求出三角形的外接圓半徑．
（3）∠AEB是直角，那么點(diǎn)E必為以AB為直徑的圓與直線l的交點(diǎn)，若符合條件的點(diǎn)E有兩個(gè)，那么直線l與以AB為直角的圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以在判斷t的取值范圍時(shí)，考慮兩個(gè)方面：①先求出最大、最小值，此時(shí)直線l與以AB為直角的圓相切；②∠AEB是直角，那么點(diǎn)A、E或點(diǎn)B、E不重合，即直線l不能經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B．
（4）過(guò)點(diǎn)F作y軸的垂線FH，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線FG，先證明△AFG∽△CFH，根據(jù)得到比例線段列式求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由直線y=x+3知，點(diǎn)A（-3，0）、C（0，3）；
拋物線的頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2，所以對(duì)稱軸x=-2，則 B（-1，0）；
將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：

9a-3b+c=0 a-b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=4 c=3

故拋物線的解析式：y=x²+4x+3．

（2）由（1）的拋物線解析式知：y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
則頂點(diǎn)P（-2，-1）；
已知A（-3，0）、C（0，3），B（-1，0）、P（-2，-1）知：∠CAB=∠PBA=45°，AB=2、AC=3

2

、BP=

2

；
①當(dāng)∠ABC=∠BPD₁時(shí)，△ABC∽△BPD₁，得：

BP

AB

=

BD1

AC

，即

2

2

=

BD1

3 2

，BD₁=3；
則D₁（-4，0），則 PD₁=

5

；
故△PBD外接圓半徑 r₁=

PD1

2sin∠PBD

=

5

2•sin45°

=

5

2• 2 2

=

10

2

；
②當(dāng)∠ABC=∠BD₂P時(shí)，△ABC∽△BD₂P，得：

BP

AC

=

BD2

AB

，即

2

3 2

=

BD2

2

，BD₂=

2

3

；
則D₂（-

5

3

，0），則 PD₂=

10

3

；
故△PBD外接圓半徑 r₂=

PD2

2sin∠PBD

=

10 3

2•sin45°

=

10 3

2• 2 2

=

5

3

；
綜上，有兩組解分別是：①P（-2，-1），D₁（-4，0），r₁=

10

2

；②P（-2，-1），D₂（-

5

3

，0），r₂=

5

3

．

（3）若∠AEB為直角，那么點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙Q上，那么點(diǎn)E為直線l與⊙Q的交點(diǎn)（如右圖）；
取與直線l平行，且與⊙Q相切的直線l′、l″，如右圖，設(shè)切點(diǎn)分別為M、N；
∵直線l∥直線l′∥直線l″，且它們的斜率k=1，
∴∠MKQ=∠NQL=45°．
Rt△KMQ中，QM=

1

2

AB=1，∠MKQ=45°，則 KQ=

2

，
同理可得 QL=

2

；
∴K（-2-

2

，0）、L（-2+

2

，0）；
若直線l與⊙Q始終有兩個(gè)交點(diǎn)，那么直線l必在直線l′、l″之間，由于直線l與x軸交點(diǎn)為（-t，0），有：
-2-

2

＜-t＜-2+

2

，即 2-

2

＜t＜2+

2

；
而∠AEB是直角，那么點(diǎn)A與點(diǎn)E以及點(diǎn)B與點(diǎn)E都不重合，即直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，所以，-t≠-1，且-t≠-3；
綜上，t的取值范圍：2-

2

＜t＜2+

2

，且t≠1、t≠3．

（4）設(shè)點(diǎn)F（x，x²+4x+3），若∠AFC=90°，那么點(diǎn)F在y軸左側(cè)；
①當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸于G，F(xiàn)H⊥y軸于H，如圖①；
OG=FH=-x，F(xiàn)G=OH=-（x²+4x+3），
AG=OA-OG=3-（-x）=3+x，CH=OC+OH=3-（x²+4x+3）=-（x²+4x）；
∵∠FAC+∠ACF=90°，即∠CAG+∠FAG+∠ACF=90°，又∠CAG=45°，
∴∠FAG+∠ACF=45°；
∵∠ACO=∠ACF+∠FCH=45°，
∴∠FAG=∠FCH；
又∵∠AGF=∠CHF，
∴△AFG∽△CFH，得：

AG

CH

=

FG

FH

，即

x+3

-x(x+4)

=

-(x+1)(x+3)

-x

，
解得：x₁=

-5+ 5

2

、x₂=

-5- 5

2

（舍）；
則F（

-5+ 5

2

，

1- 5

2

）；
②當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，如圖②；
同①求得 F（

-5- 5

2

，

1+ 5

2

）．
綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（

-5+ 5

2

，

1- 5

2

）或（

-5- 5

2

，

1+ 5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了難度較大的函數(shù)與幾何的綜合題，主要涉及了：函數(shù)解析式的確定、三角形外接圓半徑的求法、圓周角、直線與圓的位置關(guān)系以及相似三角形的判定和性質(zhì)等重點(diǎn)知識(shí)；第三題中，由直角聯(lián)想到圓是打開思路的關(guān)鍵；第二、四小題涉及到多種情況，應(yīng)通過(guò)圖形將各種情況分別列出進(jìn)行分類討論，以免出現(xiàn)漏解的情況．