Question

7．如圖正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是長(zhǎng)方形A₁B₁C₁O的一個(gè)頂點(diǎn)，且OA₁=4，OC₁=2，使長(zhǎng)方形繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，長(zhǎng)方形和正方形重疊部分的面積是1．

Answer 1

分析 如圖可見(jiàn)，可通過(guò)全等三角形來(lái)證得長(zhǎng)方形A₁B₁C₁O的與正方形ABCD重疊的部分為等腰△ABO．因此重合部分的面積實(shí)際為正方形ABCD面積的四分之一，已知了正方形的邊長(zhǎng)，可據(jù)此求出重合部分的面積．

解答 解：如圖，設(shè)AB與MO的交點(diǎn)為E，BC與OP的交點(diǎn)為F．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性得，∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠BOF}\\{OA=OB}\\{∠OAE=∠OBF=45°}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S_△AOE=S_△BOF，
∴S_重合部分=S_△BOE+S_△BOF，
=S_△BOE+S_△AOE=S_△AOB=$\frac{1}{4}$S_□ABCD=2×2×$\frac{1}{4}$=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定的知識(shí)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算的能力，屬于基礎(chǔ)題，解答這類(lèi)題時(shí)一般采取利用圖形的全等的知識(shí)將分散的圖形集中在一起，再結(jié)合圖形的特征選擇相應(yīng)的公式求解．在證明三角形全等時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性直接得出∠AOE=∠BOF是解題的關(guān)鍵，