Question

如圖，AD是⊙O的直徑，過⊙O上一點E作直線L，交AD的延長線于點B，AC⊥L于點C，AC交⊙O于點G，E為劣弧GD的中點．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AG=6，CE=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OE，GD交于F．
∵AD是⊙O的直徑，
∴OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵E為劣弧GD的中點，
∴=，
∴∠GAE=∠OAE，
∴∠OEA=∠GAE，
∴OE∥AC，
又AC⊥BC，
∴OE⊥BC．
又OE是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑是r．
由（1）知，OE⊥BC，
∵AD是圓O的直徑，
∴∠AGD=90°，
∴AG⊥GD．
∵AC⊥BC，
∴GD∥BC．
∴四邊形GCEF是矩形，則則CE=GF=4．
∵OE是半徑，GD是非直徑的弦，
∴GF=FD=4，GD=8．
∵AG=6，
∴AD=10，半徑為5．
即⊙O的半徑是5．
分析：（1）連接OE，OE=OA，則得∠OEA=∠OAE，又由“E為劣弧GD的中點”推知=，所以∠GAE=∠OAE，則∠OEA=∠GAE，所以OE∥AC，因此OE⊥BC，從而證得BC是⊙O的切線；
（2）利用切線的性質(zhì)、圓周角定理證得四邊形GCEF是矩形；然后根據(jù)矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理來求圓O的半徑．
點評：此題考查的知識點是切線的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵（1）是先由半徑的等腰三角形得角相等，等弧的圓周角相等，得OE∥AC，即得AC⊥BC，從而得證；（2）關(guān)鍵是先證得OF是三角形AGD的中位線，從而求出半徑r．