Question

14．如圖，在以點O為原點的直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+1的圖象與x軸交于A，與y軸交于點B，求：
（1）△AOB面積=1；
（2）△AOB內(nèi)切圓半徑=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
（3）點C在第二象限內(nèi)且為直線AB上一點，OC=$\frac{1}{2}AB$，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點C，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用一次函數(shù)的解析式分別求出A、B的坐標(biāo)后，即可求出OB、OA的長度，從而可求出△AOB的面積；
（2）設(shè)△AOB內(nèi)切圓的圓心為M，⊙M與OA、OB、AB分別切于E、F、G，連接OE、OF，利用切線長定理可知BF=BG，AE=AG，設(shè)半徑為r，利用AG+BG=AB列出方程即可求出r的值；
（3）利用AB的長度求出OC的長度，過點C作CD⊥x軸于點D，設(shè)點C（a，-$\frac{1}{2}$a+1），利用勾股定理即可求出a的值，從而求出點C的坐標(biāo)，將點C代入y=$\frac{k}{x}$即可求出k的值．

解答 解：（1）令x=0代入y=-$\frac{1}{2}$a+1
∴y=1，
∴OB=1，
令y=0代入y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴x=2，
∴OA=2，
S=$\frac{1}{2}$OA•OB=1；

（2）設(shè)△AOB內(nèi)切圓的圓心為M，
⊙M與OA、OB、AB分別切于E、F、G，
連接OE、OF，如圖1，
∵∠OEM=∠MFO=∠FOE=90°，
∴四邊形MFOE是矩形，
∵ME=MF，
∴矩形MFOE是正方形，
設(shè)⊙M的半徑為r，
∴MF=ME=r，
由切線長定理可知：BF=BG=1-r，
AE=AG=2-r，
由勾股定理可求得：AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AG+BG=AB，
2-r+1-r=$\sqrt{5}$，
∴r=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；

（3）過點C作CD⊥x軸于點D，如圖2，
∵OC=$\frac{1}{2}$AB，
∴OC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵點C在直線AB上，
∴設(shè)C（a，-$\frac{1}{2}$a+1）（a＜0），
∴OD=a，CD=-$\frac{1}{2}$a+1，
由勾股定理可知：CD²+OD²=OC²，
∴a²+（-$\frac{1}{2}$a+1）²=$\frac{5}{4}$，
∴a=-$\frac{1}{5}$或a=1（舍去）
∴C的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{5}$，$\frac{11}{10}$），
把C（-$\frac{1}{5}$，$\frac{11}{10}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-$\frac{11}{50}$．

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式等知識，需要學(xué)生靈活運用所學(xué)知識進行解答，綜合性較強．