已知方程x3-(1+2•3m)x2+(5n+2•3m)x-5n=0.
(1)若n=m=0,求方程的根;
(2)找出一組正整數(shù)n,m,使得方程的三個(gè)根均為整數(shù);
(3)證明:只有一組正整數(shù)n,m,使得方程的三個(gè)根均為整數(shù).
分析:(1)若n=m=0,則方程化為x3-3x2+3x-1=0,即(x-1)3=0.求解即可;
(2)設(shè)方程x2-2•3mx+5n=0的兩個(gè)解為x1,x2.根據(jù)公式法求得后,再確定m,n的值;
(3)設(shè)9m-5n=k2(其中k為整數(shù)),有9m-k2=5n,即(3m-k)(3m+k)=5n,再設(shè)
3m-k=5i
3m+k=5j
(其中i+j=n,i,j為非負(fù)整數(shù)),因此2•3m=5j(5j-i+1),可得到2•3m=5n+1,然后討論m,n的取值.
解答:解:(1)若n=m=0,則方程化為x3-3x2+3x-1=0,即(x-1)3=0.
所以x1=x2=x3=1.

(2)方程化為(x-1)(x2-2•3mx+5n)=0
設(shè)方程x2-2•3mx+5n=0的兩個(gè)解為x1,x2
x1,2=
2•3m±
4•9m-4•5n
2
=3m±
9m-5n

當(dāng)m=n=1時(shí),方程的三個(gè)根均為整數(shù);

(3)設(shè)9m-5n=k2(其中k為整數(shù))
所以9m-k2=5n,即(3m-k)(3m+k)=5n,
不妨設(shè)
3m-k=5i
3m+k=5j
(其中i+j=n,i,j為非負(fù)整數(shù)),
因此:2•3m=5j(5j-i+1),
又∵5不能整除2•3m,
∴i=0,因此有2•3m=5n+1,
要使三根均為整數(shù),則只有一組正整數(shù)m=n=1,此時(shí)x1=x2=1,x3=5.
點(diǎn)評:此題運(yùn)用了立方差公式和公式法,(3)的難度較大,注意分類討論.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知方程
x
3
+
y
4
=1
,用含x的代數(shù)式表示y,則y=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知方程x3-(1+2•3m)x2+(5n+2•3m)x-5n=0.
(1)若n=m=0,求方程的根;
(2)找出一組正整數(shù)n,m,使得方程的三個(gè)根均為整數(shù);
(3)證明:只有一組正整數(shù)n,m,使得方程的三個(gè)根均為整數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:浙江省中考真題 題型:解答題

已知方程x3-(1+2·3m)x2+(5n+2·3m)x-5n=0。
(1)若n=m=0,求方程的根;
(2)找出一組正整數(shù)n,m,使得方程的三個(gè)根均為整數(shù);
(3)證明:只有一組正整數(shù)n,m,使得方程的三個(gè)根均為整數(shù)。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2006年浙江省溫州中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知方程x3-(1+2•3m)x2+(5n+2•3m)x-5n=0.
(1)若n=m=0,求方程的根;
(2)找出一組正整數(shù)n,m,使得方程的三個(gè)根均為整數(shù);
(3)證明:只有一組正整數(shù)n,m,使得方程的三個(gè)根均為整數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案