(2011•福州)已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.

(1)如圖1,連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形,并求AF的長(zhǎng);

(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,

①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.

②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b(單位:cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.

 

【答案】

(1)證明:①∵四邊形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,

∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,

∵EF垂直平分AC,垂足為O,

∴OA=OC,

∴△AOE≌△COF,

∴OE=OF,

∴四邊形AFCE為平行四邊形,

又∵EF⊥AC,

∴四邊形AFCE為菱形,

②設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF=CF=xcm,則BF=(8﹣x)cm,

在Rt△ABF中,AB=4cm,

由勾股定理得42+(8﹣x)2=x2,

解得x=5,

∴AF=5cm.

 

(2)①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí),Q點(diǎn)在CD上,此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;

同理P點(diǎn)在AB上時(shí),Q點(diǎn)在DE或CE上,也不能構(gòu)成平行四邊形.

因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形,

∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),PC=QA,

∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,

∴PC=5t,QA=12﹣4t,

∴5t=12﹣4t,

解得

∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),秒.

 

②由題意得,以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),點(diǎn)P、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上.

分三種情況:

i)如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí),AP=CQ,即a=12﹣b,得a+b=12;

ii)如圖2,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí),AQ=CP,即12﹣b=a,得a+b=12;

iii)如圖3,當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí),AP=CQ,即12﹣a=b,得a+b=12.

綜上所述,a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12(ab≠0).

【解析】略

 

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