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已知:如圖1,PA切⊙O于A點,割線PCB交⊙O于C、B兩點,D是線段BP上一點,且PD2=PB•PC,直線AD交⊙O于E點.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)求證:AB•AC=AD•AE;
(3)若把題中條件“D是線段BP上一點”改為“D是線段BP延長線上一點”(如圖2),則題(2)中的結論還成立嗎?若成立,請給出證明,若不成立,請說明理由.
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分析:(1)本題可先根據切割線定理,以及給出的PD2=PB•PC,得出PA=PD,根據等邊對等角,得出∠PAD=∠PDA,根據∠PAD=∠PAC+∠DAC,∠PDA=∠ABC+BAE,以及圓周角定理得出∠BAE=∠EAC,即AD平分∠BAC;
(2)本題實際求的是三角形ACD和ABE相似,已知的條件有:圓周角∠ACD=∠AEB,又由(1)的角平分線得出的∠BAE=∠CAE,因此兩三角形就相似,即可得出題中所求證得結論;
(3)和(1)(2)的方法一樣,先根據切割線定理得出PA=PD,然后根據等角的余角相等,得出∠EBA=∠PAD=∠D,又已知了一組直角,那么三角形ABE和三角形ACD相似,由此可得出所求的結論.
解答:精英家教網(1)證明:∵PA是⊙O的切線,
∴∠PAC=∠ABC,PA2=PC•PB
∵PD2=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∴∠PAC+∠DAC=∠ABC+∠BAE
∵∠PAC=∠ABC
∴∠DAC=∠BAE
∴AD平分∠BAC;

(2)證明:連接BE,則∠AEB=∠ACB
∵∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△ADC
AB
AE
=
AD
AC
即:AB•AC=AD•AE;

(3)解:(2)的結論仍然成立,
證明:連接BE
∵AB是直徑
∴∠AEB=∠ACB=∠ACD=90°
∵PA是⊙O的切線
∴PA2=PC•PB,∠BAP=90°
∵PD2=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∵∠BAP=90°,∠BEA=90°
∴∠BAE+∠PAD=∠BAE+∠EBA=90°
∴∠PAD=∠EBA
∵∠BEA=∠ACD=90°
∴△ABE∽△ADC
AB
AE
=
AD
AC
,即:AB•AC=AD•AE
因此,(2)的結論仍然成立.
點評:本題主要考查了切線的性質,切割線定理以及相似三角形的判定與性質等知識點.用相似三角形來求線段的比例關系是本題的基本思路.
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