Question

已知，如圖：⊙M交x軸于A（-，0），B（，0）兩點，交y軸于C（3，0），D兩點．
（1）求M點的坐標；
（2）P為弧BC上一動點，連接BC，PA，PC，當P點在弧BC上運動時．求證PC+PB=PA．

Answer 1

解：（1）連接BD，
∵CD⊥AB，B（，0），C（3，0），
∴BC=2，
∴∠OCB=30°，
∵CD為直徑，
∴∠CBD=90°，
∴∠OBD=30°，
∴tan30°=，
∴OD=1，
∴OM=-OD=1，
∴M點的坐標為（0，1），

（2）在PA上截取PE=PB，連接AC，
∵CD⊥AB，CD為直徑，
∴OA=OB，，
∴∠APB=2∠DCB，AC=BC，
∵∠DCB=30°，
∴∠APB=60°，∠CBA=60°，
∴∠CPA=60°，
∵PB=PE，
∴△PMB和△ABC為等邊三角形，
∴∠AEB=120°，∠CPB=120°，BC=BA，
∵在△CPB和△AEB中，
，
∴△CPB≌△AEB（AAS），
∴AE=PC，
∵PA=EA+EP，
∴PA=PC+PB．
分析：（1）連接BD，由點A，B，C點的坐標，依據垂徑定理，推出CD⊥AB，OA=OB，再根據勾股定理推出BC的長度，即可求出∠BCO的度數，然后根據圓周角定理推出∠CBD=90°，求得∠DBO=30°，再根據30°角的正切值推出OD的長度，即可推出OM的長度；
（2）在PA上截取PE=PB，連接AC，根據（1）中所推出的結論，首先求出△PMB和△ABC為等邊三角形，然后通過求證△CPB和△AMB全等，即可推出AE=PC，最后通過等量代換即可推出結論．
點評：本題主要考查圓周角定理、全等三角形的判定與性質、勾股定理、銳角三角函數的定義、垂徑定理，關鍵在于正確地作出輔助線，熟練運用相關的性質定理求出相關角的度數、角的相等關系、線段的相等關系．