Question

●探究：
（1）在圖中，已知線段AB，CD，其中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．
①若A（-1，0），B（3，0），則E點(diǎn)坐標(biāo)為

 

；
②若C（-2，2），D（-2，-1），則F點(diǎn)坐標(biāo)為

 

；
（2）在圖中，已知線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），求出圖中AB中點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含a，b，c，d的代數(shù)式表示），并給出求解過(guò)程．
●歸納：
無(wú)論線段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個(gè)位置，當(dāng)其端點(diǎn)坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），AB中點(diǎn)為D（x，y）時(shí)，x=

 

，y=

 

．（不必證明）
●運(yùn)用：
在圖中，一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象交點(diǎn)為A，B．
①求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
②若以A，O，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)利用上面的結(jié)論求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）正確作出兩線段的中點(diǎn)，即可寫(xiě)出中點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)A，D，B三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為A'，D'，B'，則AA'∥BB'∥CC'，根據(jù)梯形中位線定理即可得證；
①解兩函數(shù)解析式組成的方程組即可解得兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②根據(jù)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)上面的結(jié)論可以求得AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)，此點(diǎn)也是OP的中點(diǎn)，根據(jù)前邊的結(jié)論即可求解．

解答：解：探究（1）①（1，0）；②（-2，

1

2

）；（2分）

（2）過(guò)點(diǎn)A，D，B三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為A'，D'，B'，
則AA'∥BB'∥DD'．（1分）
∵D為AB中點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理得A'D'=D'B'．
∴OD'=a+

c-a

2

=

a+c

2

即D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

a+c

2

．（1分）
同理可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)是

b+d

2

．
∴AB中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

a+c

2

，

b+d

2

）．（1分）

歸納：

a+c

2

，

b+d

2

．（1分）
運(yùn)用①由題意得

y=x-2 y= 3 x

解得

x=3 y=1

或

x=-1 y=-3

∴即交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-1，-3），B（3，1）．（2分）
②以AB為對(duì)角線時(shí)，由上面的結(jié)論知AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1）．
∵平行四邊形對(duì)角線互相平分，
∴OM=MP，即M為OP的中點(diǎn)．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）．（1分）
當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí)，PB=AO，PB∥AO，
同理可得：點(diǎn)P坐標(biāo)分別為（4，4），
以O(shè)A為對(duì)角線時(shí)，PA=BO，PA∥BO，
可得：點(diǎn)P坐標(biāo)分別為（-4，-4）．
∴滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)，
坐標(biāo)分別是（2，-2），（4，4），（-4，-4）．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要探索了：兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的中點(diǎn)，縱坐標(biāo)是縱坐標(biāo)的中點(diǎn)．