【題目】如圖,已知△ABC為等邊三角形,點D,E分別在邊AB、AC上,AD=AE,連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.
(1)觀察猜想
在如圖中,線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______,∠MPN的度數(shù)是______;
(2)探究證明
把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖的位置,
①判斷△PMN的形狀,并說明理由;
②求∠MPN的度數(shù);
(3)拓展延伸
若△ABC為直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=12,點DE分別在邊AB,AC上,AD=AE=4,連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),如圖.
①△PMN的是______三角形.
②直接利用①中的結(jié)論,求△PMN面積的最大值.
【答案】(1)PM=PN,120°.(2)①△PMN是等腰三角形.證明見解析;②120°.(3)①等腰直角;②32.
【解析】
(1)結(jié)論:PM=PN,120°.利用三角形的中位線定理即可解決問題;
(2)①如圖2中,連接BD、EC.證明△BAD≌△CAE(SAS),可得BD=EC,再利用三角形中位線定理即可解決問題;
②利用三角形的外角以及平行線的性質(zhì)即可解決問題;
(3)①由(2)可知:△PMN是等腰直角三角形;
②因為PM=PN=BD,推出BD最大時,PM最大,△PMN面積最大.
(1)結(jié)論:PM=PN,120°.
理由:如圖1中,∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,
∵AD=AE,
∴BD=EC,
∵點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點,
∴PM=EC,PN=BD,PM∥AC,PN∥AB,
∴PM=PN,∠MPD=∠ACD,∠PNC=∠B=60°,
∵∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠PNC=120°,
故答案為PM=PN,120°;
(2)如圖2中,連接BD、EC,
①∵∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
∵BA=CA,DA=EA,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
∵點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點,
∴PN∥BD,PM∥EC,PN=BD,PM=CE,
∴PN=PM,
∴△PMN是等腰三角形;
②∵PN∥BD,PM∥EC,
∴∠PNC=∠DBC,∠DPM=∠A=ECD,
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECD+∠PNC+∠DCB=∠ECD+∠DCB+∠DBC=∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠DBC=∠ABD+∠ACB+∠DBC=∠ACB+∠ABC=120°;
(3)①△PMN是等腰直角三角形;
②∵PM=PN=BD,
∴BD最大時,PM最大,△PMN面積最大,
∴點D在BA的延長線上,
∴BD=AB+AD=16,∴PM=8,∴S△PMN最大=PM2=×82=32.
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【題目】今年“五一節(jié)”前,某商場用60萬元購進(jìn)某種商品,該商品有甲、乙兩種包裝共500件,其中每件甲包裝中有75個A種產(chǎn)品,每個A產(chǎn)品的成本為12元;每件乙包裝中有100個B產(chǎn)品,每個B種產(chǎn)品的成本為14元.商場將A產(chǎn)品標(biāo)價定為每個18元,B產(chǎn)品標(biāo)價定為每個20元.
(1)甲、乙兩種包裝的產(chǎn)品各有多少件?
(2)“五一節(jié)”商場促銷,將A產(chǎn)品按原定標(biāo)價打9折銷售,B種產(chǎn)品按原定標(biāo)價打8.5折銷售,“五一節(jié)”期間該產(chǎn)品全部賣完,該商場銷售該商品共獲利多少元?
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,點E在CD上,點F、G在AB上,且AF=FG=BG=DE=CE。以A、B、C、D、E、F、G這7個點中的三個為頂點的三角形中,面積最小的三角形有_________個,面積最大的三角形有__________個。
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【題目】某生態(tài)示范村種植基地計劃用90畝~120畝的土地種植一批葡萄,原計劃總產(chǎn)量要達(dá)到36萬斤.
(1)列出原計劃種植畝數(shù)y(畝)與平均每畝產(chǎn)量x(萬斤)之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)為了滿足市場需求,現(xiàn)決定改良葡萄品種.改良后平均每畝產(chǎn)量是原計劃的1.5倍,總產(chǎn)量比原計劃增加了9萬斤,種植畝數(shù)減少了20畝,原計劃和改良后的平均每畝產(chǎn)量各是多少萬斤?
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【題目】中央電視臺的《朗讀者》節(jié)目激發(fā)了同學(xué)們的讀書熱情,為了引導(dǎo)學(xué)生“多讀書,讀好書”,某校對八年級部分學(xué)生的課外閱讀量進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查,整理調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn),學(xué)生課外閱讀的本數(shù)量少的有本,最多的有本,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完整的圖表,如下所示:
本數(shù)(本) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
合計 |
()統(tǒng)計圖表中的__________,__________,__________.
()請將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整.
()求所有被調(diào)查學(xué)生課外閱讀的平均本數(shù).
()若該校八年級共有名學(xué)生,請你估計該校八年級學(xué)生課外閱讀本及以上的人數(shù).
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【題目】一種實驗用軌道彈珠,在軌道上行駛5分鐘后離開軌道,前2分鐘其速度v(米/分)與時間t(分)滿足二次函數(shù)v=at2,后三分鐘其速度v(米/分)與時間t(分)滿足反比例函數(shù)關(guān)系,如圖,軌道旁邊的測速儀測得彈珠1分鐘末的速度為2米/分,求:
(1)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式.
(2)彈珠在軌道上行駛的最大速度.
(3)求彈珠離開軌道時的速度.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD,AB∥CD,點E是BC延長線上一點,連接AC、AE,AE交CD于點F,∠1=∠2,∠3=∠4.
證明:
(1)∠BAE=∠DAC;
(2)∠3=∠BAE;
(3)AD∥BE.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(10,0),B(4,8),C(0,8),連接AB,BC,點P在x軸上,從原點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向點A運(yùn)動,同時點M從點A出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿折線A﹣B﹣C向點C運(yùn)動,其中一點到達(dá)終點時,另一點也隨之停止運(yùn)動,設(shè)P,M兩點運(yùn)動的時間為t秒.
(1)求AB長;
(2)設(shè)△PAM的面積為S,當(dāng)0≤t≤5時,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并指出S取最大值時,點P的位置;
(3)t為何值時,△APM為直角三角形?
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【題目】某大學(xué)公益組織計劃購買兩種的文具套裝進(jìn)行捐贈,關(guān)注留守兒童經(jīng)洽談,購買套裝比購買套裝多用20元,且購買5套套裝和4套套裝共需820元.
(1)求購買一套套裝文具、一套套裝各需要多少元?
(2)根據(jù)該公益組織的募捐情況和捐助對象情況,需購買兩種套裝共60套,要求購買兩種套裝的總費(fèi)用不超過5240元,則購買套裝最多多少套?
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