Question

求滿足條件

a-2 6

=

x

-

y

的自然數(shù)a，x，y．

Answer 1

考點：有理數(shù)無理數(shù)的概念與運算

專題：

分析：先兩邊平方可得：a-2

6

=x+y-2

xy

①，判斷出

xy

必為無理數(shù)，將①變形x+y-a=2（

xy

-

6

），繼而判斷x+y-a必為零且

xy

-

6

=0，從而可得

x+y=a xy=6

，判斷出x＞y后，可得出x、y、a的值．

解答：解：將原式兩邊平方得：a-2

6

=x+y-2

xy

①，
顯然a-2

6

是無理數(shù)，
假設(shè)

xy

是有理數(shù)，則x+y-2

xy

是有理數(shù)，
這與①式矛盾，所以

xy

必為無理數(shù)，
由①式變形x+y-a=2（

xy

-

6

），
假設(shè)x+y-a≠0，則

xy

-

6

必為非零有理數(shù)，
設(shè)

xy

-

6

=k（k≠0），即

xy

-

6

=k，
所以有

xy

=

6

+k，
兩邊平方得：xy=6+2k

6

+k²，
所以2k

6

=xy-6-k²，
因為k≠0，所以2k

6

是無理數(shù)，而xy-6-k²是有理數(shù)，矛盾．
所以x+y-a=0且

xy

-

6

=0，
∴

x+y=a xy=6

，
又∵

x

-

y

=

a-2 6

，
∴x＞y，
∴滿足條件的自然數(shù)為x=6，y=1，a=7或x=3，y=2，a=5．

點評：本題考查了有理數(shù)無理數(shù)的概念與運算，此類題目難度較大，解題突破口往往比較隱蔽，注意抓住等式兩邊有理數(shù)及無理數(shù)的判斷．