Question

如圖，直線y=x+b（b＞0）與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，正比例函數(shù)y=kx（k＜0）的圖象與直線AB交于點(diǎn)Q，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=10，BN=3，
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（用b表示）
（2）圖中有全等的三角形嗎？若有，請(qǐng)找出并說(shuō)明理由．
（3）求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，
x+b=0，
解得，
x=-b，
∴直線y=x+b（b＞0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)A為（-b，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，
y=b，
∴直線y=x+b（b＞0）與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)B為（0，b）；

（2）有，△MAO≌△NOB．理由：
由（1）知OA=OB …
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ∴∠AMO=∠BNO=90°…
∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90°
∴∠MAO=∠MOB …
在△MAO和△BON中
∴△MAO≌△NOB …

（3）∵△MAO≌△NOB，
∴OM=BN，AM=ON
∴MN=ON-OM=AM-BN=7 …
分析：（1）分別令y=0，x=0來(lái)求直線y=x+b（b＞0）與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）利用全等三角形的判定定理ASA判定△MAO≌△NOB；
（3）根據(jù)全等三角形△MAO≌△NOB的對(duì)應(yīng)邊相等推知OM=BN，AM=ON，從而求得MN=ON-OM=AM-BN=7．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)．解答該題時(shí)，注意全等三角形的判定與全等三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．