Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A，B重合的動點，PC∥AB，點M是OP中點．

(1)求證：四邊形AOCP是平行四邊形；

(2)填空：①當∠ABP＝ 時，四邊形AOCP是菱形；

②連接BP，當∠ABP＝ 時，PC是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①30°；②45°.

【解析】

（1）先判斷出四邊形OBCP是平行四邊形，得出OB=PC，OB∥PC，再判斷出OA=PC，從而得出結論；

（2）根據(jù)圓周角定理得到∠AOP=60°，推出△AOP是等邊三角形，得到AP=AO，于是得到四邊形AOCP是菱形；由圓周角定理得到∠AOP=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OPC=∠AOP=90°，于是得到結論．

（1）∵點M是OP中點，

∴AM=CM，

∵AO=BO，

∴OM∥BC，

∴OP∥BC，

∵PC∥AB，

∴四邊形OBCP是平行四邊形；

（2）當∠ABP=30度時，四邊形AOCP是菱形；

理由：∵∠ABP=30°，

∴∠AOP=60°，

∵AO=PO，

∴△AOP是等邊三角形，

∴AP=AO，

∴四邊形AOCP是菱形；

當∠ABP=45度時，PC是⊙O的切線；

理由：∵∠ABP=45°，

∴∠AOP=90°，

∵AO∥PC，

∴∠OPC=∠AOP=90°，

∴PC是⊙O的切線．