Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x軸，拋物線y=ax²-2ax+3經(jīng)過△ABC的三個頂點，并且與x軸交于點D、E，點A為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接CD，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P使△PCD為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）BC與拋物線的對稱軸于F點，先根據(jù)拋物線的性質(zhì)得到對稱軸為直線x=1，由于BC∥x軸，根據(jù)拋物線的對稱性得到B點和C點關(guān)于直線x=1對稱軸，
則AB=AC，于是可判斷△ABC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AF=BF=1，所以可確定A點坐標為（1，4），然后把A點坐標代入y=ax²-2ax+3求出a即可得到拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）先根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到D點坐標為（-1，0），設P點坐標為（1，t），利用兩點之間的距離公式得到CD²=3²+（2+1）²=18，PC²=1²+（t-3）²，PD²=2²+t²，然后分類討論：當CD²=PC²+PD²，即18=1²+（t-3）²+2²+t²，解得t₁=

3- 17

2

，t₂=

3+ 17

2

，此時P點坐標為（1，

3- 17

2

），（1，

3+ 17

2

）；當PD²=CD²+PC²，即2²+t²=18+1²+（t-3）²，解得t=4，此時P點坐標為（1，4），；當PC²=CD²+PD²，即1²+（t-3）²=18+2²+t²，解得t=-2，此時P點坐標為（1，-2）．

解答：解：（1）BC與拋物線的對稱軸于F點，如圖，拋物線的對稱軸為直線x=-

-2a

2a

=1，
∵BC∥x軸，
∴B點和C點關(guān)于直線x=1對稱軸，
∴AB=AC，
而∠BAC=90，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴AF=BF=1，
∴A點坐標為（1，4），
把A（1，4）代入y=ax²-2ax+3得a-2a+3=4，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）令y=0，則-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴D點坐標為（-1，0），
設P點坐標為（1，t），
∴CD²=3²+（2+1）²=18，PC²=1²+（t-3）²，PD²=2²+t²，
當CD²=PC²+PD²，即18=1²+（t-3）²+2²+t²，解得t₁=

3- 17

2

，t₂=

3+ 17

2

，此時P點坐標為（1，

3- 17

2

），（1，

3+ 17

2

）；
當PD²=CD²+PC²，即2²+t²=18+1²+（t-3）²，解得t=4，此時P點坐標為（1，4），；
當PC²=CD²+PD²，即1²+（t-3）²=18+2²+t²，解得t=-2，此時P點坐標為（1，-2）；
∴符合條件的點P的坐標為（1，

3- 17

2

）或（1，

3+ 17

2

）或（1，4）或（1，-2）．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．也考查了分類討論的思想和兩點之間的距離公式．