Question

如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線過A、B兩點(diǎn)，作垂直x軸的直線，交x軸于H，交直線AB于M，交這個(gè)拋物線于N．

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）若M在第一象限，求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？
（3）若∠ABO=∠BNH，求t的值．

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，最大值為4；（3）或

解析試題分析：（1）先求得一次函數(shù)于y軸、x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由拋物線過A、B兩點(diǎn)即可根據(jù)待定系數(shù)法求解；
（2）先表示出MN的長(zhǎng)與t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）由∠ABO="∠BNH" 可得tan∠ABO=tan∠BNH，即，再分①時(shí)，②時(shí)， ③時(shí)，三種情況求解即可.
（1）在中，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
∴ 
將代入得
，解得
∴拋物線的解析式為；
（2）∵ ，
∴ 
∵ 
∴當(dāng)時(shí)，最大值為4；
（3）∵∠ABO="∠BNH"
∴tan∠ABO=tan∠BNH
即
當(dāng)時(shí)，；
①時(shí)，
，解得
∴；
②時(shí)，
，解得
∴；
③時(shí)，
，解得
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，∠ABO=∠BNH．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題
點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．