Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)D，已知2∠A+∠B=90°．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若OA=6，BC=8，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍得到∠COD=2∠A，由2∠A與∠B之和為90度，得到∠COD與∠B互余，在三角形COB中，得到∠OCB為直角，即可確定出BC為圓O的切線；
（2）在直角三角形OCB中，由OC與BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)，由OB-OD即可求出BD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OC，
∵

CD

=

CD

，
∴∠COD=2∠A，
∵2∠A+∠B=90°，
∴∠COD+∠B=90°，
在△OCB中，∠OCB=90°，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：在⊙O中，OC=OA=OD=6，
∵∠OCB=90°，BC=8，
∴根據(jù)勾股定理得：OB²=OC²+BC²，
∴OB=10，
∴BD=OB-OD=10-6=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，勾股定理，以及圓周角定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．