【題目】如圖在矩形ABCD中,AB= AD,點(diǎn)E、F分別在AB、AD上且不與頂點(diǎn)A、B、D重合, , 圓O過(guò)A、E、F三點(diǎn)。
(1)求證:圓O與CE相切于點(diǎn)E.
(2)如圖1,若AF=2FD,且,求的值。
(3)如圖2,若EF=EC,且圓O與邊CD相切,求的值。
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)
【解析】(1)由四邊形ABCD是矩形證明∠FEC=90°即可;(2)在直角三角形中利用三角函數(shù)求解;(3)利用三角形中位線、勾股定理和題意可列方程求出n的值.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=90°,
∠BCE+∠BEC=90°,
又∵∠AEF=∠BCE,∵∠AEF+∠BEC=90°,
∴∠FEC=90°,∴⊙O與CE相切.
(2)∵AF=2FD,設(shè)FD=a。則AF=2a,
在直角三角形AEC中,∵∠AEF=30°,
∴∠BCE=30°.
∴EF=4a,由勾股定理:AE= ,
.
∴BC=3a,又在直角三角形EBC中,
,
.
過(guò)E作EMDC于M,因?yàn)閳AO與CD相切,設(shè)切點(diǎn)為N,連接ON,又過(guò)F作FQEM交ON于H, FE=EC, EFEC, ,
根據(jù)題意和作圖,可設(shè)AE=BC=ME=AD= ,AF=QE=EB= ,
易證明OH為的中位線,OH=,
2ON=EF=,
由勾股定理和題意可列方程:
,
化簡(jiǎn):
.
“點(diǎn)睛”本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,將方程與幾何融合在一起,利用勾股定理和方程組解答;解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容,對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高,一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高中自主招生考試只考數(shù)學(xué)和物理,數(shù)學(xué)與物理成績(jī)按7:3計(jì)入綜合成績(jī).已知小明數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>95分,綜合成績(jī)?yōu)?/span>92分,那么小明的物理成績(jī)?yōu)?/span>_____分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在同一平面內(nèi),不重合的兩條直線的位置關(guān)系是( )。
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.平行、相交或垂直
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,中國(guó)古代數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》中便記載了求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的一種方法﹣﹣更相減損術(shù),術(shù)曰:“可半者半之,不可半者,副置分母、子之?dāng)?shù),以少成多,更相減損,求其等也.以等數(shù)約之”,意思是說(shuō),要求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù),先用較大的數(shù)減去較小的數(shù),得到差,然后用減數(shù)與差中的較大數(shù)減去較小數(shù),以此類(lèi)推,當(dāng)減數(shù)與差相等時(shí),此時(shí)的差(或減數(shù))即為這兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù).
例如:求91與56的最大公約數(shù)
解:
請(qǐng)用以上方法解決下列問(wèn)題:
(1)求108與45的最大公約數(shù);
(2)求三個(gè)數(shù)78、104、143的最大公約數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC=12,BD=8,交點(diǎn)為點(diǎn)O,則邊AB的取值范圍為( )
A.1<AB<2
B.2<AB<10
C.4<AB<10
D.4<AB<20
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二元一次方程2x+y=4的自然數(shù)解有( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為鼓勵(lì)同學(xué)們積極參加體育鍛煉,學(xué)校計(jì)劃拿出不超過(guò)2400元的資金購(gòu)買(mǎi)一批籃球和排球,已知籃球和排球的單價(jià)比為5:1,單價(jià)和為90元.
(1)籃球和排球的單價(jià)分別是多少元?
(2)若要求購(gòu)買(mǎi)的籃球和排球共40個(gè),且購(gòu)買(mǎi)的籃球數(shù)量多于28個(gè),有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,池塘邊有一塊長(zhǎng)為20米,寬為12米的長(zhǎng)方形土地,現(xiàn)在將其余三面留出寬都是x米的小路,中間余下的長(zhǎng)方形部分做菜地,用代數(shù)式表示:
(1)菜地的長(zhǎng)a=米,寬b=米;
(2)菜地的面積S=平方米;
(3)求當(dāng)x=2米時(shí),菜地的面積.
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