【題目】如圖在矩形ABCD中,AB= AD,點(diǎn)E、F分別在AB、AD上且不與頂點(diǎn)A、B、D重合, , 圓O過(guò)A、E、F三點(diǎn)。

(1)求證:圓O與CE相切于點(diǎn)E.

(2)如圖1,若AF=2FD,且,求的值。

(3)如圖2,若EF=EC,且圓O與邊CD相切,求的值。

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)

【解析】(1)由四邊形ABCD是矩形證明∠FEC=90°即可;(2)在直角三角形中利用三角函數(shù)求解;(3)利用三角形中位線、勾股定理和題意可列方程求出n的值.

(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=90°,

∠BCE+∠BEC=90°,

又∵∠AEF=∠BCE,∵∠AEF+∠BEC=90°,

∴∠FEC=90°,∴⊙O與CE相切.

(2)∵AF=2FD,設(shè)FD=a。則AF=2a,

在直角三角形AEC中,∵∠AEF=30°,

∴∠BCE=30°.

∴EF=4a,由勾股定理:AE=

∴BC=3a,又在直角三角形EBC中,

,

.

過(guò)E作EMDC于M,因?yàn)閳AO與CD相切,設(shè)切點(diǎn)為N,連接ON,又過(guò)F作FQEM交ON于H, FE=EC, EFEC, ,

根據(jù)題意和作圖,可設(shè)AE=BC=ME=AD= ,AF=QE=EB= ,

易證明OH為的中位線,OH=,

2ON=EF=

由勾股定理和題意可列方程:

,

化簡(jiǎn):

“點(diǎn)睛”本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,將方程與幾何融合在一起,利用勾股定理和方程組解答;解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容,對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高,一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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例如:求9156的最大公約數(shù)

解:

請(qǐng)用以上方法解決下列問(wèn)題:

1)求10845的最大公約數(shù);

2)求三個(gè)數(shù)78104、143的最大公約數(shù).

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