Question

3．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=2，小球P從點E出發(fā)沿直線向點F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當小球P第一次碰到點E時，小球P所經(jīng)過的路程長為12$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為$\frac{1}{2}$，通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數(shù)．再由勾股定理就可以求出小球經(jīng)過的路徑的總長度．

解答 解：根據(jù)已知中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為$\frac{1}{2}$，第一次碰撞點為F，在反射的過程中，根據(jù)入射角等于反射角及平行關系的三角形的相似可得第二次碰撞點為G，在DA上，且DG=$\frac{1}{6}$DA，第三次碰撞點為H，在DC上，且DH=$\frac{1}{3}$DC，第四次碰撞點為M，在CB上，且CM=$\frac{1}{3}$BC，第五次碰撞點為N，在DA上，且AN=$\frac{1}{6}$AD，第六次回到E點，AE=$\frac{1}{3}$AB．
由勾股定理可以得出EF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，F(xiàn)G=3$\sqrt{5}$，GH=$\sqrt{5}$，HM=2$\sqrt{5}$，MN=3$\sqrt{5}$，NE=$\sqrt{5}$，
故小球經(jīng)過的路程為：2$\sqrt{5}$+3$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$+2$\sqrt{5}$+3$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$=12$\sqrt{5}$，
故答案為：12$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了反射原理，以及正方形的性質．通過相似三角形的性質來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數(shù)，由勾股定理來確定小球經(jīng)過的路程，是一道數(shù)學物理學科綜合試題，難度較大．