Question

將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F。
（1）求證：AF+EF=DE；
（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；
（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜α＜180°，其它條件不變，如圖③，你認(rèn)為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由。

Answer 1

解：（1）連接BF（如圖①）， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC=BE，AC=DE ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴∠BCF=∠BEF=90°， ∵BF=BF， ∴Rt△BFC≌Rt△BFE， ∴CF=EF， 又∵AF+CF=AC， ∴AF+EF=DE； （2）畫出正確圖形如圖②，（1）中的結(jié)論AF+EF =DE仍然成立； （3）不成立．此時AF、EF與DE的關(guān)系為AF-EF=DE， 理由：連接BF（如圖③）， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC=BE，AC=DE， ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴∠BCF=∠BEF=90°， 又∵BF=BF， ∴Rt△BFC≌Rt△BFE， ∴CF=EF， 又∵AF-CF=AC， ∴AF-EF=DE， ∴（1）中的結(jié)論不成立，正確的結(jié)論是AF-EF=DE。