Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

1.求BC的長(zhǎng)

2.當(dāng)MN∥AB時(shí)，求t的值

3.試探究：t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形．

 

Answer 1

【答案】

 

1.如圖①，過(guò)A、D分別作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，則四邊形ADHK是矩形．

∴KH=AD=3．

在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4•=4BK=AB•cos45°=4=4．

在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3．

∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．（2分）

2.如圖②，過(guò)D作DG∥AB交BC于G點(diǎn)，則四邊形ADGB是平行四邊形．

∵M(jìn)N∥AB，

∴MN∥DG．

∴BG=AD=3．

∴GC=10﹣3=7．

由題意知，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，CN=t，CM=10﹣2t．

∵DG∥MN，

∴∠NMC=∠DGC．

又∠C=∠C，

∴△MNC∽△GDC．

∴，

即．

解得，．（3分）

3.分三種情況討論：

①當(dāng)NC=MC時(shí)，如圖③，即t=10﹣2t，

∴．

②當(dāng)MN=NC時(shí)，如圖④，過(guò)N作NE⊥MC于E．

由等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)得

EC=MC=（10﹣2t）=5﹣t．

在Rt△CEN中，cosC==，

又在Rt△DHC中，cosC=，

∴．

解得t=．

③當(dāng)MN=MC時(shí)，如圖⑤，過(guò)M作MF⊥CN于F點(diǎn)．FC=NC=t．

（方法同②），

解得．

綜上所述，當(dāng)t=、t=或t=時(shí)，△MNC為等腰三角形．（3分）

【解析】（1）作梯形的兩條高，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)求解；

（2）平移梯形的一腰，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解；

（3）因?yàn)槿�邊中，每�(jī)蓷l邊都有相等的可能，所以應(yīng)考慮三種情況．結(jié)合路程=速度×?xí)r間求得其中的有關(guān)的邊，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)求解．