Question

探究證明：
如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)AD=a．BD=b．
（1）分別a，b表示線段OC，CD；
（2）探求OC與CD表達(dá)式之間存在的數(shù)量關(guān)系．（用含a，b的式子表示）．
歸納結(jié)論：
根據(jù)上面的觀察計(jì)算、探究證明，你能得

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是

a+b

2

≥

ab

．
實(shí)踐應(yīng)用：
要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出∠ADC=∠BDC=90°，∠CAB=∠BCD，證△ADC∽△CDB，得出

CD

DB

=

AD

CD

，代入即可求出CD，求出AB，即可求出OC；
（2）分為兩種情況：當(dāng)O和D不重合時得出

a+b

2

＞

ab

，當(dāng)O和D重合時得出

a+b

2

=

ab

，即可得出答案；設(shè)長方形鏡框ABCD的長AD=a，寬AB=b，根據(jù)面積求出

ab

=1，根據(jù)

a+b

2

≥

ab

，求出a+b≥2，得出2（a+b）≥4，求出2（a+b）的最小值即可．

解答：探究證明：
解：（1）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠CBA+∠BCD=90°，∠CBA+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴

CD

DB

=

AD

CD

，
即

CD

b

=

a

CD

，
CD=

ab

，
∵AB=AD+BD=a+b，
AB是⊙O直徑，
∴半徑OC=

1

2

AB=

a+b

2

；
即OC=

a+b

2

，CD=

ab

；

（2）∵當(dāng)D和O不重合時，如圖，在Rt△OCD中，OC＞CD，即

a+b

2

＞

ab

；
當(dāng)D和O重合時，OC=CD，即

a+b

2

=

ab

，
∴OC與CD表達(dá)式之間存在的數(shù)量關(guān)系是

a+b

2

≥

ab

；
故答案為：

a+b

2

≥

ab

．


實(shí)踐應(yīng)用：
解：設(shè)長方形鏡框ABCD的長AD=a，寬AB=b，
∵長方形鏡框ABCD的面積是1平方米，
∴AB=CD=b，AD=BC=a，ab=1，
∴

ab

=1，
∵由以上結(jié)論可知：

a+b

2

≥

ab

，
∴

a+b

2

≥1，
即a+b≥2，
∴2（a+b）≥4，
即2（a+b）的最小值是4，
∵長方形鏡框ABCD的周長是AB+BC+CD+AD=2a+2b=2（a+b），
∴鏡框周長的最小值是4．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理和相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．