Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線C-B-A-D向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為acm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿對(duì)角線BD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為

2

cm/s．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)從各自的起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以PQ為直徑的⊙O與直線BD的位置關(guān)系也隨之變化，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）寫出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，⊙O與直線BD所有可能的位置關(guān)系

 

；
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若a=3，求⊙O與直線BD相切時(shí)t的值；
（3）探究：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在正整數(shù)a，使得⊙O與直線BD相切兩次？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的兩個(gè)正整數(shù)a及相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹睆絇Q與直線BD有一個(gè)交點(diǎn)，直線與圓不可能相離；
（2）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，已知∠PBQ=45°，直線與圓相切時(shí)，PQ⊥BD，圍繞等腰直角三角形的兩邊關(guān)系，建立方程求解；
（3）根據(jù)題目的限制條件t＜5，根據(jù)（2）得出一般結(jié)論，再根據(jù)限制條件求a的范圍．

解答：解：（1）點(diǎn)Q為直線BD上的點(diǎn)，PQ為直徑，⊙O與直線BD的位置關(guān)系只可能是：相切、相交；

（2）當(dāng)P點(diǎn)在BC上時(shí)，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切，
△BQP為等腰直角三角形，

2

BQ=PB，即

2

×

2

t=5-3t，
解得t₁=1，
當(dāng)P點(diǎn)在AB上時(shí)，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切，
△BQP為等腰直角三角形，

2

BQ=PB，即

2

×

2

t=3t-5，
解得t₂=5（舍去），
當(dāng)P點(diǎn)在AD上時(shí)，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切，
△BQP為等腰直角三角形，

2

BQ=PB，即2t=15-3t，
t₃=3（舍去）；
故t=1時(shí)，⊙O與直線BD相切．

（3）存在，由（2）可知，（a+2）t=5，或者（a-2）t=5，
且t＜5，故a≥4且a為正整數(shù)，t₁=

5

a+2

，t₂=

5

a-2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，滿足條件時(shí)，△BPQ始終是等腰直角三角形這一條件．