Question

將一個(gè)等腰直角三角板放在坐標(biāo)系中，如圖所示，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（0，2），B（2，1），C（1，-1），將三角板繞A點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)α°后，使B點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)D（-1，0）重合．
（1）寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)和α的值（直接寫(xiě)出結(jié)果）；
（2）求出過(guò)B，C，E三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；
（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAD是以AD為腰的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)直接說(shuō)出點(diǎn)E的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)的角度即可；
（2）將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式后利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式即可；
（3）設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于x軸交于點(diǎn)F，以D點(diǎn)為圓心，以AD為半徑畫(huà)弧，交對(duì)稱(chēng)軸于P₁，P₂，和以A為圓心，以AD為半徑畫(huà)弧交x軸與P₃，P₄，過(guò)A作AM垂直對(duì)稱(chēng)軸于M，分別求得其點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）E（-3，1）α=90
（2）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=ax²+bx+c根據(jù)題意得：

9a-3b+c=1 a+b+c=-1 4a+2b+c=1

解得：

a= 1 2 b= 1 2 c=-2

∴解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2
（3）存在
①設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于x軸交于點(diǎn)F，以D點(diǎn)為圓心，以AD為半徑畫(huà)弧，交對(duì)稱(chēng)軸于P₁，P₂，
∵拋物線(xiàn)y=

1

2

x²+

1

2

x-2的對(duì)稱(chēng)軸為x=-

1

2

∴DF=1-

1

2

=

1

2

∵在Rt△ADO中，OA=2，OD=1
∴AD=

22+1

=

5

∴FP1=

( 5 )2-( 1 2 )2

=

19

2

∴P₁（-

1

2

，

19

2

）
∵點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)
∴P₂（-

1

2

，-

19

2

）
②以A為圓心，以AD為半徑畫(huà)弧交x軸與P₃，P₄，
過(guò)A作AM垂直對(duì)稱(chēng)軸于M，同理可求得P₃M=P₄M=

19

2

∴FP₃=FM+MP₃=2+

19

2

∴P₃（-

1

2

，2+

19

2

）
FP₄=MP₄-FM=

19

2

-2
∴P₄（-

1

2

，2-

19

2

）
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P₁（-

1

2

，

19

2

）、P₂（-

1

2

，-

19

2

）、P₃（-

1

2

，2+

19

2

）、P₄（-

1

2

，2-

19

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是解決存在性問(wèn)題時(shí)很多時(shí)候都采用分類(lèi)討論的方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)．