Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，點E為BC邊上的動點（點E與點B、C不重合），設BE=x．
操作：在射線BC上取一點F，使得EF=BE，以點F為直角頂點、EF為邊作等腰直角三角形EFG，設△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S．
（1）求S與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）S是否有最大值？若存在，請直接寫出最大值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）①當0＜x≤1時，F(xiàn)G=EF=x＜1=AB（如圖1），
∴S=EF•FG=x²（0＜x≤1）；
②當1＜x≤1.5時，F(xiàn)G=EF=x＞1=AB（如圖2），
設EG與AD相交于點M，F(xiàn)G與AD相交于點N，
∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠GNM=∠GEF=45°，∠GNM=∠GFE=90°
∴∠MGN=45°
∴MN=GN=x-1
S=（MN+EF）FN=x-（1＜x≤1.5）；
③當1.5＜x≤2時，（如圖3），設EG與AD相交于點M，AD的延長線與FG相交于點N，
∵四邊形ABCD是矩形
∴AN∥BF
同理MN=GN=x-1
∵∠FNM=∠GFE=∠DCF=90°
∴四邊形DCFN是矩形
DN=CF=BF-BC=2x-3，
MD=MN-DN=（x-1）-（2x-3）=2-x
S=（MD+EC）CD=-x+（1.5＜x≤2）
④當2＜x＜3時，（如圖4），
設EG與CD相交于點M
∵四邊形ABCD是矩形，△EFG是等腰直角三角形，
∴∠MCE=90°，∠MEC=45°=∠CME
∴CM=CE=3-x
∴S=CE•CM=x²-3x+（2＜x＜3）；

（2）存在，其最大值為1．
分析：（1）本題要分情況進行討論：
①當EF≤CD，即當0＜x≤1時，重合部分是△EFG，兩直角邊的長均為x，由此可得出S，x的函數(shù)關系式．
②當CD＜EF≤BC，即當1＜x≤1.5時，重合部分是個梯形，可用相似三角形求出梯形的上底的長，進而根據(jù)梯形的面積計算公式得出S，x的函數(shù)關系式．
③當EF＞BC，但D在EG上或EG右側(cè)，即當1.5＜x≤2時，此時重合部分是個梯形，如果設EG與AD相交于點M，AD的延長線與FG相交于點N，可先在相似三角形GMN和GEF中求出MN的長，而后根據(jù)MD=MN-DN求出梯形的上底長，進而可按梯形的面積計算公式得出S，x的函數(shù)關系式．
④當EF在D點右側(cè)時，即當2＜x＜3時，重合部分是個三角形，先用x表示出兩直角邊的長，然后按①的方法進行求解即可．
（2）按上面分析的四種情況，分別進行求解，得出不同自變量的取值范圍內(nèi)S的最大值，然后進行比較即可得出S的最大值．
點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形、一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應用等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．