Question

（2012•泰州一模）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CP=

8

3

時(shí)，△APE的周長最小．

Answer 1

分析：延長AB到M，使BM=AB，則A和M關(guān)于BC對(duì)稱，連接EM交BC于P，此時(shí)AP+EP的值最小，根據(jù)勾股定理求出AE長，根據(jù)矩形性質(zhì)得出AB∥CD，推出△ECP∽△MBP，得出比例式，代入即可求出CP長．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°=∠ABC，AB=CD=4，BC=AD=8，
∵E為CD中點(diǎn)，
∴DE=CE=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=

82+22

=2

17

，
即△APE的邊AE的長一定，
要△APE的周長最小，只要AP+PE最小即可，
延長AB到M，使BM=AB=4，則A和M關(guān)于BC對(duì)稱，
連接EM交BC于P，此時(shí)AP+EP的值最小，
AP+PE=EM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△ECP∽△MBP，
∴

CE

BM

=

CP

BP

，
∴

2

4

=

CP

8-CP

，
解得：CP=

8

3

，
故答案為：

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是找出符合條件的P點(diǎn)的位置，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．