如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE．
（1）若∠C=30°，求證：BE是△DEC外接圓的切線；
（2）若BE=
3
，BD=1，求△DEC外接圓的直徑．
（1）證明：∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，AE=CE，
∴DC為△DEC外接圓的直徑，
取DC的中點O，連結(jié)OE，如圖，
∵∠ABC=90°，
∴BE為Rt△ABC斜邊上的中線，
∴EB=EC，
∵∠C=30°，
∴∠EBC=30°，∠EOD=2∠C=60°，
∴∠BEO=90°，
∴OE⊥BE，
而OE為⊙O的半徑，
∴BE是△DEC外接圓的切線；

（2）∵BE為Rt△ABC斜邊上的中線，
∴AE=EC=BE=
3
，
∴AC=2
3
，
∵∠ECD=∠BCA，
∴Rt△CED∽Rt△CBA，
∴
CE
CB
=
CD
CA
，
而CB=CD+BD=CD+1，
∴
3
CD+1
=
CD
2
3
，
解得CD=2或CD=-3（舍去），
∴△DEC外接圓的直徑為2．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，割線PCB交⊙O于C、B兩點，半徑OD⊥BC，垂足為E，AD交PB于點F．
（1）PA與PF是否相等？______（填“是”或“否”）；
（2）若F是PB的中點，CF=1.5，則切線PA的長為______．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，AO與⊙O交于點C，若∠BAO=40°，則∠OCB的度數(shù)為（　�。�
A．40°B．50°C．65°D．75°

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，直線MN切⊙O于A，AB是⊙O的弦，∠MAB的平分線交⊙O于C，連接CB并延長交MN于N，如果AN=6，NB=4，那么弦AB的長是（　　）
A．
15
2
B．3C．5D．
10
3

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=4
3
，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點E是BC的中點，連接OD，OB，DE．
（1）求證：OD⊥DE；
（2）求sin∠ABO的值．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，點P在AC上，AP=2，若⊙O的圓心在線段BP上，且⊙O與AB、AC都相切，則⊙O的半徑是______．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知：如圖，在△ABC中，∠A=45°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，且AD=DC，CO的延長線交⊙O于點E，過點E作弦EF⊥AB，垂足為點G．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AB=2，求EF的長．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，∠OAB=30°，求∠APB的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖①，直線AM⊥AN，⊙O分別與AM、AN相切于B、C兩點，連接OC、BC，則有∠ACB=∠OCB；（請思考：為什么？）如果測得AB=a，則可知⊙O的半徑r=a．（請思考：為什么？）
（1）將圖①中直線AN向右平移，與⊙O相交于C1、C2兩點，⊙O與AM的切點仍記為B，如圖②．請你寫出與平移前相應的結(jié)論，并將圖②補充完整；判斷此結(jié)論是否成立，且說明理由．
（2）在圖②中，若只測得AB=a，能否求出⊙O的半徑r？若能求出，請你用a表示r；若不能求出，請補充一個條件（補充條件時不能添加輔助線，若補充線段請用b表示，若補充角請用α表示），并用a和補充的條件表示r．

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