Question

18．如圖，?ABCD的邊AD=2AB，AE=BF=AB，EC交AD于點(diǎn)M，F(xiàn)D交BC于點(diǎn)N，求證：四邊形CDMN是菱形．

Answer 1

分析 △AEM≌△DCM．利用“平行四邊形ABCD的對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)推知AB∥CD，AB=CD．然后結(jié)合已知條件和全等三角形的判定定理AAS證得，由四邊形CDMN的對(duì)邊MD=NC且MD∥NC推知四邊形CDMN是平行四邊形．再由MD=DC證得平行四邊形CDMN是菱形．

解答 證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
∵點(diǎn)E、A、B、F在一條直線上，
∴AE∥CD，
∴∠AEM=∠MCD．
又∵AE=AB，
∴AE=DC．
在△AEM與△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠DMC}\\{∠AEM=∠DCM}\\{AE=DC}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△DCM（AAS）；
在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AB=CD．
∵△AEM≌△DCM，則AM=DM，即MD=$\frac{1}{2}$AD，
同理，易證△BFN≌△CDN，則BN=CN，即CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴MD=CN，
又MD∥NC，
∴四邊形CDMN是平行四邊形．
又∵2AB=AD=2DM，AB=CD，
∴DM=CD，
∴平行四邊形CDMN是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定．注意：菱形的鄰邊相等的平行四邊形，而不是鄰邊相等的四邊形．