【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過(guò)A(﹣3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為D,連接AD,點(diǎn)P是線(xiàn)段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合),過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線(xiàn)PE,垂足點(diǎn)為E,連接AE.
(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),△PAE的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取到最大值時(shí),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)PF,垂足為F,連接EF,把△PEF沿直線(xiàn)EF折疊,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′,求出P′的坐標(biāo),并判斷P′是否在該拋物線(xiàn)上.
【答案】
(1)解:將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得: ,
解得:a=1,b=﹣2.
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3.
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D為(﹣1,4)
(2)解:設(shè)AD的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得: ,
解得:k=2,b=6.
∵P在A(yíng)D上,
∴P(x,2x+6).
∴S= PEyP= (﹣x)(2x+6)=﹣x2﹣3x(﹣3<x<﹣1).
∴當(dāng)x=﹣ =﹣ 時(shí),S取值最大值
(3)解:如圖1所示:設(shè)P′F與y軸交與點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)P′作P′M⊥y軸與點(diǎn)M.
∵當(dāng)x=﹣ 時(shí),S取值最大值,
∴P(﹣ ,3).
由翻折的性質(zhì)可知:∠PFE=∠P′FE,PF=P′F=3,PE=P′E= .
∵PF∥y軸.
∴∠PFE=∠FEN.
∴EN=FN.
設(shè)EN=m,則FN=m,P′N(xiāo)=3﹣m.
∵在Rt△P′EN中,P′N(xiāo)2+P′E2=EN2,
∴(3﹣m)2+( )2=m2,解得:m= .
∵S△P′EN= P′N(xiāo)P′E= ENP′M,
∴P′M= .
∵在Rt△EMP′中,EM= = ,
∴OM=EO﹣EM= .
∴P′( , ).
把x= 代入拋物線(xiàn)的解析式得:y= ≠ ,
∴點(diǎn)P′不在該拋物線(xiàn)上
【解析】(1)用待定系數(shù)法將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求解,再用配方法或代入頂點(diǎn)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。
(2)要求△PAE得面積,由于PE⊥y軸,△PAE得面積=PEPE邊上的高,因此就得求出直線(xiàn)AD的函數(shù)解析式,根據(jù)點(diǎn)P在直線(xiàn)AD上,即可用含x的代數(shù)式求出PE、PE邊上的高,即可寫(xiě)出s與x 的函數(shù)關(guān)系式,再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求得結(jié)果。
(3)要求點(diǎn)P′的坐標(biāo),過(guò)點(diǎn)P′作P′M⊥y軸與點(diǎn)M.由(2)得出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)折疊的性質(zhì),可以證得∠PFE=∠P′FE,PF=P′F,PE=P′E,再證明EN=FN,在Rt△P′EN中,運(yùn)用勾股定理求出EN的長(zhǎng),再根據(jù)直角三角形的面積等于兩直角邊積的一半等于斜邊乘以斜邊上的高,求出P′M的長(zhǎng),在Rt△EMP′中求出EM的長(zhǎng),即可求得OM的長(zhǎng),就可用寫(xiě)出點(diǎn)P′的坐標(biāo),再將點(diǎn)P′的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式就可知道點(diǎn)P′是否在此拋物線(xiàn)上。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩組同學(xué)玩“兩人背夾球”比賽,即:每組兩名同學(xué)用背部夾著球跑完規(guī)定的路程,若途中球掉下時(shí)須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑,用時(shí)少者勝.結(jié)果:甲組兩位同學(xué)掉了球;乙組兩位同學(xué)順利跑完.設(shè)比賽中同學(xué)距出發(fā)點(diǎn)的距離用y表示,單位是米;比賽時(shí)間用x表示,單位是秒.兩組同學(xué)比賽過(guò)程用圖像表示如下:
(1)這是一次 米的背夾球比賽;
(2)線(xiàn)段 表示甲組兩位同學(xué)在比賽中途掉球,耽誤了 秒;
(3)甲組同學(xué)到達(dá)終點(diǎn)用了 秒,乙組同學(xué)到達(dá)終點(diǎn)用了 秒,獲勝的是 組同學(xué);
(4)請(qǐng)直接寫(xiě)出C點(diǎn)坐標(biāo),并說(shuō)明點(diǎn)C的實(shí)際意義.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=9,點(diǎn)E在邊AD上,AE=1,過(guò)E、D兩點(diǎn)的圓的圓心O在邊AD的上方,直線(xiàn)BO交AD于點(diǎn)F,作DG⊥BO,垂足為G.當(dāng)△ABF與△DFG全等時(shí),⊙O的半徑為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小宇想測(cè)量位于池塘兩端的A,B兩點(diǎn)的距離.他沿著與直線(xiàn)AB平行的道路EF行走,當(dāng)行走到點(diǎn)C處,測(cè)得∠ACF=45°,再向前行走100米到點(diǎn)D處,測(cè)得∠BDF=60°.若直線(xiàn)AB與EF之間的距離為60米,求A,B兩點(diǎn)的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn),將△ABD沿AD翻折后得到△AED,邊AE交BC于點(diǎn)F.
(1)如圖①,當(dāng)AE⊥BC時(shí),寫(xiě)出圖中所有與∠B相等的角: ;所有與∠C相等的角: .
(2)若∠C-∠B=50°,∠BAD=x°(0<x≤45) .
① 求∠B的度數(shù);
②是否存在這樣的x的值,使得△DEF中有兩個(gè)角相等.若存在,并求x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)O作直線(xiàn)MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線(xiàn)于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)F.
(1)求證:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的長(zhǎng);
(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AECF是矩形?并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,已知點(diǎn)E在A(yíng)B上,點(diǎn)F在CD上,且AE=CF.
求證:DE=BF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列圖案中,既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的個(gè)數(shù)為( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,BE和CE分別為△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)和外角平分線(xiàn),BE⊥AC于點(diǎn)H,CF平分∠ACB交BE于點(diǎn)F連接AE.則下列結(jié)論:①∠ECF=90°;②AE=CE;③;④∠BAC=2∠BEC;⑤∠AEH=∠BCF,正確的個(gè)數(shù)為( )
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)
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