Question

已知線段AB及AB上一點(diǎn)P，當(dāng)P滿足下列哪一種關(guān)系時(shí)，P為AB的黃金分割點(diǎn)①AP²=AB•PB；②AP=

5 -1

2

AB；③PB=

3- 5

2

AB；④

AP

PB

=

5 -1

2

；⑤

AB

AP

=

5 -1

2

．其中正確的是

①②③

 （填“序號(hào)”）

Answer 1

分析：根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義列出算式，然后求解得到AP與AB關(guān)系，再根據(jù)AB、AP、BP三者之間的關(guān)系對(duì)各小題整理即可判斷正誤．

解答：解：∵P為AB的黃金分割點(diǎn)，
∴

AP

PB

=

AB

AP

，
∴AP²=AB•PB，故①小題正確；
AP²=AB•（AB-AP），
AP²+AB•AP-AB²=0，
解得AP=

5 -1

2

AB，故②小題正確；
（AB-PB）=

5 -1

2

AB，
整理得，PB=

3- 5

2

AB，故③小題正確；
∵AP=

5 -1

2

AB，
∴PB=AB-AP=

3- 5

2

AB，
∴

AP

PB

=

5 -1 2

3- 5 2

=

1+ 5

2

，故④小題錯(cuò)誤；

AP

AB

=

5 -1

2

，故⑤小題錯(cuò)誤．
綜上所述，①②③正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割，明確黃金分割點(diǎn)的定義列出比例式是求解的關(guān)鍵．